Dodecaedro chato | |
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(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio) | |
Tipo | Poliedro uniforme sólido de Arquímedes |
Elementos | F = 92, E = 150, V = 60 (χ = 2) |
Caras por lados | (20 + 60) {3} +12 {5} |
Notación de Conway | Dakota del Sur |
Símbolos de Schläfli | sr {5,3} o |
ht 0,1,2 {5,3} | |
Símbolo de Wythoff | | 2 3 5 |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | yo ,1/2H 3 , [5,3] + , (532), orden 60 |
Grupo de rotacion | I , [5,3] + , (532), orden 60 |
Ángulo diedro | 3-3: 164 ° 10′31 ″ (164,18 °) 3-5: 152 ° 55′53 ″ (152,93 °) |
Referencias | U 29 , C 32 , W 18 |
Propiedades | Semiregular convexa quiral |
Caras coloreadas | 3.3.3.3.5 ( figura de vértice ) |
Hexecontaedro pentagonal ( poliedro dual ) | Neto |
En geometría , el dodecaedro chato , o icosidodecaedro chato , es un sólido de Arquímedes , uno de los trece sólidos no prismáticos isogonales convexos construidos por dos o más tipos de caras poligonales regulares .
El dodecaedro chato tiene 92 caras (la mayoría de los 13 sólidos de Arquímedes): 12 son pentágonos y los otros 80 son triángulos equiláteros . También tiene 150 aristas y 60 vértices.
Tiene dos formas distintas, que son imágenes especulares (o " enantiomorfos ") entre sí. La unión de ambas formas es un compuesto de dos dodecaedros chatos , y el casco convexo de ambas formas es un icosidodecaedro truncado .
Kepler lo nombró por primera vez en latín como dodecaedro simum en 1619 en sus Harmonices Mundi . HSM Coxeter , señalando que podría derivarse igualmente del dodecaedro o del icosaedro, llamado icosidodecaedro chato , con un símbolo de Schläfli extendido verticalmente y el símbolo plano de Schläfli sr {5,3}.
Coordenadas cartesianas
Dejar ser el cero real del polinomio , dónde es la proporción áurea . Deja el punto ser dado por
- .
Deje que las matrices de rotación y ser dado por
y
- .
representa la rotación alrededor del eje a través de un ángulo de en sentido antihorario, mientras siendo un desplazamiento cíclico de (x, y, z) representa la rotación alrededor del eje a través de un ángulo de . Entonces los 60 vértices del dodecaedro chato son las 60 imágenes del punto bajo multiplicación repetida por y / o , iterado hasta la convergencia. (Las matrices y generar las 60 matrices de rotación correspondientes a las 60 simetrías de rotación de un icosaedro regular .) Las coordenadas de los vértices son combinaciones lineales integrales de, , , , y . La longitud del borde es igual a. Negar todas las coordenadas da la imagen especular de este dodecaedro chato.
Como volumen, el dodecaedro chato consta de 80 pirámides triangulares y 12 pentagonales. El volumen de una pirámide triangular viene dada por:
y el volumen de una pirámide pentagonal por:
El volumen total es .
El circunradio es igual a . El radio medio es igual a. Esto da una interesante interpretación geométrica del número. Los 20 triángulos "icosaédricos" del dodecaedro chato descritos anteriormente son coplanares con las caras de un icosaedro regular. El radio medio de este icosaedro "circunscrito" es igual a. Esto significa que es la relación entre el radio medio de un dodecaedro chato y el icosaedro en el que está inscrito.
El ángulo diedro triángulo-triángulo está dado por
El ángulo diedro triángulo-pentágono está dado por
Propiedades métricas
Para un dodecaedro chato cuya longitud de borde es 1, el área de superficie es
- .
Su volumen es
- .
Su circunradio es
- .
Su radio medio es
- .
Hay dos esferas inscritas, una tocando las caras triangulares y la otra, un poco más pequeña, tocando las caras pentagonales. Sus radios son, respectivamente:
y
- .
Las cuatro raíces reales positivas de lo séptico en
son los circunradios del dodecaedro chato ( U 29 ), el gran icosidodecaedro chato ( U 57 ), el gran icosidodecaedro chato invertido ( U 69 ) y el gran icosidodecaedro retroactivo ( U 74 ).
El dodecaedro chato tiene la esfericidad más alta de todos los sólidos de Arquímedes. Si la esfericidad se define como la relación del volumen al cuadrado sobre el área de la superficie al cubo, multiplicada por una constante de 36 veces pi (donde esta constante hace que la esfericidad de una esfera sea igual a 1), la esfericidad del dodecaedro chato es aproximadamente 0,947. [1]
Proyecciones ortogonales
El dodecaedro chato tiene dos proyecciones ortogonales especialmente simétricas , como se muestra a continuación, centradas en dos tipos de caras: triángulos y pentágonos, correspondientes a los planos de Coxeter A 2 y H 2 .
Centrado por | Triángulo de la cara | Pentágono de cara | Borde |
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Sólido | |||
Estructura alámbrica | |||
Simetría proyectiva | [3] | [5] + | [2] |
Doble |
Relaciones geométricas
El dodecaedro chato se puede generar tomando las doce caras pentagonales del dodecaedro y tirando de ellas hacia afuera para que ya no se toquen. A una distancia adecuada, esto puede crear el rombicosidodecaedro rellenando caras cuadradas entre los bordes divididos y caras triangulares entre los vértices divididos. Pero para la forma chata, saque las caras pentagonales un poco menos, solo agregue las caras del triángulo y deje los otros espacios vacíos (los otros espacios son rectángulos en este punto). Luego aplique una rotación igual a los centros de los pentágonos y triángulos, continuando la rotación hasta que los espacios se puedan llenar con dos triángulos equiláteros. (El hecho de que la cantidad adecuada para sacar las caras es menor en el caso del dodecaedro chato se puede ver de dos maneras: el circunradio del dodecaedro chato es más pequeño que el del icosidodecaedro; o, la longitud del borde de los triángulos equiláteros formados por los vértices divididos aumentan cuando se rotan las caras pentagonales.)
El dodecaedro chato también se puede derivar del icosidodecaedro truncado por el proceso de alternancia . Sesenta de los vértices del icosidodecaedro truncado forman un poliedro topológicamente equivalente a un dodecaedro chato; los sesenta restantes forman su imagen especular. El poliedro resultante tiene vértice transitivo pero no uniforme.
Poliedros y teselados relacionados
Familia de poliedros icosaédricos uniformes | |||||||
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Simetría : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | t {5,3} | r {5,3} | t {3,5} | {3,5} | rr {5,3} | tr {5,3} | sr {5,3} |
Poliedros duales a uniformes | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Este poliedro semirregular es miembro de una secuencia de desairado poliedros y embaldosados con la figura vértice (3.3.3.3. N ) y diagrama de Coxeter-Dynkin . Estas figuras y sus duales tienen ( n 32) simetría rotacional , estando en el plano euclidiano para n = 6, y en el plano hiperbólico para cualquier n superior . Se puede considerar que la serie comienza con n = 2, con un conjunto de caras degeneradas en digones .
n 32 mutaciones de simetría de teselaciones chatas: 3.3.3.3.n | ||||||||
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Simetría n 32 | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | ||||
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Figuras chatas | ||||||||
Config. | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
Figuras Gyro | ||||||||
Config. | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Gráfico dodecaédrico chato
Gráfico dodecaédrico chato | |
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Vértices | 60 |
Bordes | 150 |
Automorfismos | 60 |
Propiedades | Hamiltoniano , regular |
Tabla de gráficos y parámetros |
En el campo matemático de la teoría de grafos , un grafo dodecaédrico chato es el gráfico de vértices y aristas del dodecaedro chato, uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 60 vértices y 150 aristas, y es un grafo de Arquímedes . [2]
Ver también
- Animación de transformación de polígono plano a poliedro
- CCW y CW hilado chata dodecaedro
Referencias
- ^ ¿Cuán esféricos son los sólidos de Arquímedes y sus duales? PK Aravind, The College Mathematics Journal, vol. 42, núm. 2 (marzo de 2011), págs. 98-107
- ^ Leer, RC; Wilson, RJ (1998), An Atlas of Graphs , Oxford University Press , pág. 269
- Jayatilake, Udaya (marzo de 2005). "Cálculos sobre poliedros regulares de caras y vértices". Gaceta matemática . 89 (514): 76–81.
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
- Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. pp. 79-86 Sólidos de Arquímedes . ISBN 0-521-55432-2.
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , Dodecaedro desaire ( sólido de Arquímedes ) en MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Gráfico dodecaédrico desaire" . MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D s3s5s - snid" .
- Red imprimible editable de un dodecaedro chato con vista 3D interactiva
- Los poliedros uniformes
- Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
- Mark S. Adams y Menno T. Kosters. Soluciones de volumen para el dodecaedro chato