En matemáticas - en concreto, en teoría geométrica de la medida - medida esférica σ n es el "natural" medida de Borel en el n -sphere S n . La medida esférica a menudo se normaliza de modo que sea una medida de probabilidad en la esfera, es decir, de modo que σ n ( S n ) = 1.
Definición de medida esférica
Hay varias formas de definir la medida esférica. Una forma es utilizar la métrica habitual "redonda" o " longitud de arco " ρ n en S n ; Es decir, para puntos x y y en S n , ρ n ( x , y ) se define para ser la (euclidiana) ángulo que subtienden en el centro de la esfera (el origen de R n 1 ). Ahora construya la medida de Hausdorff n- dimensional H n en el espacio métrico ( S n , ρ n ) y defina
También se podría haber dado a S n la métrica que hereda como subespacio del espacio euclidiano R n +1 ; la misma medida esférica resulta de esta elección de métrica.
Otro método utiliza la medida de Lebesgue λ n +1 en el espacio euclidiano ambiental R n +1 : para cualquier subconjunto medible A de S n , defina σ n ( A ) como el volumen ( n + 1) dimensional de la "cuña" en la bola B n +1 que subtiende en el origen. Es decir,
dónde
El hecho de que todos estos métodos definan la misma medida en S n se deriva de un elegante resultado de Christensen: todas estas medidas están obviamente distribuidas uniformemente en S n , y dos medidas regulares de Borel distribuidas uniformemente en un espacio métrico separable deben ser constantes (positivo ) múltiplos entre sí. Dado que todos nuestros candidatos σ n se han normalizado para ser medidas de probabilidad, todos son la misma medida.
Relación con otras medidas
La relación de la medida esférica con la medida de Hausdorff en la esfera y la medida de Lebesgue en el espacio ambiental ya se ha discutido.
La medida esférica tiene una buena relación con la medida de Haar en el grupo ortogonal . Sea O ( n ) el grupo ortogonal que actúa sobre R n y sea θ n su medida de Haar normalizada (de modo que θ n (O ( n )) = 1). El grupo ortogonal también actúa sobre la esfera S n −1 . Entonces, para cualquier x ∈ S n −1 y cualquier A ⊆ S n −1 ,
En el caso de que S n sea un grupo topológico (es decir, cuando n es 0, 1 o 3), la medida esférica σ n coincide con la medida de Haar (normalizada) en S n .
Desigualdad isoperimétrica
Hay una desigualdad isoperimétrica para la esfera con su medida métrica y esférica habitual (ver Ledoux y Talagrand, capítulo 1):
Si A ⊆ S n −1 es cualquier conjunto de Borel y B ⊆ S n −1 es una bola ρ n con la misma medida σ n que A , entonces, para cualquier r > 0,
donde A r denota la "inflación" de A por r , es decir
En particular, si σ n ( A ) ≥ 1/2y n ≥ 2, entonces
Referencias
- Christensen, Jens Peter Reus (1970). "En algunas medidas análogas a la medida de Haar". Mathematica Scandinavica . 26 : 103-106. ISSN 0025-5521 . SEÑOR0260979
- Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidad en espacios de Banach . Berlín: Springer-Verlag. págs. xii + 480. ISBN 3-540-52013-9. SEÑOR1102015 (Ver capítulo 1)
- Mattila, Pertti (1995). Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos: fractales y rectificabilidad . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas No. 44. Cambridge: Cambridge University Press. págs. xii + 343. ISBN 0-521-46576-1. SEÑOR1333890 (Ver capítulo 3)