trigonometría esférica
La trigonometría esférica es la rama de la geometría esférica que se ocupa de las relaciones entre las funciones trigonométricas de los lados y los ángulos de los polígonos esféricos (especialmente los triángulos esféricos ) definidos por una serie de grandes círculos que se cruzan en la esfera . La trigonometría esférica es de gran importancia para los cálculos en astronomía , geodesia y navegación .
Los orígenes de la trigonometría esférica en las matemáticas griegas y los principales avances en las matemáticas islámicas se analizan en detalle en Historia de la trigonometría y las matemáticas en el Islam medieval . El tema fructificó en los primeros tiempos modernos con desarrollos importantes de John Napier , Delambre y otros, y alcanzó una forma esencialmente completa a fines del siglo XIX con la publicación del libro de texto Trigonometría esférica de Todhunter para el uso de colegios y escuelas . [1] Desde entonces, desarrollos significativos han sido la aplicación de métodos vectoriales y el uso de métodos numéricos.
Un polígono esférico es un polígono en la superficie de la esfera definido por varios arcos de círculo máximo , que son la intersección de la superficie con planos que pasan por el centro de la esfera. Dichos polígonos pueden tener cualquier número de lados. Dos planos definen un lune , también llamado " digón " o bi-ángulo, el análogo de dos lados del triángulo: un ejemplo familiar es la superficie curva de un segmento de una naranja. Tres planos definen un triángulo esférico, tema principal de este artículo. Cuatro planos definen un cuadrilátero esférico: tal figura, y los polígonos de lados más altos, siempre se pueden tratar como varios triángulos esféricos.
Un polígono esférico con propiedades interesantes es el pentagramma mirificum , un polígono esférico en estrella de 5 lados con todos los ángulos rectos.
El triángulo polar asociado a un triángulo ABC se define como sigue. Considere el gran círculo que contiene el lado BC . Este gran círculo está definido por la intersección de un plano diametral con la superficie. Dibuje la normal a ese plano en el centro: interseca la superficie en dos puntos y el punto que está en el mismo lado del plano que A se denomina (convencionalmente) el polo de A y se denota por A ′. Los puntos B ′ y C ′ se definen de manera similar.
El triángulo A′B′C ′ es el triángulo polar correspondiente al triángulo ABC . Un teorema muy importante (Todhunter, [1] Art.27) prueba que los ángulos y los lados del triángulo polar están dados por
