En matemáticas , una curva (también llamada línea curva en textos antiguos) es un objeto similar a una línea , pero que no tiene por qué ser recto .
Intuitivamente, se puede pensar en una curva como el rastro dejado por un punto en movimiento . Esta es la definición que apareció hace más de 2000 años en los Elementos de Euclides : "La línea [curva] [a] es […] la primera especie de cantidad, que tiene una sola dimensión, a saber, la longitud, sin ancho ni profundidad, y no es otra cosa que el fluir o correr del punto que […] dejará de su imaginario moverse algún vestigio de largo, exento de cualquier ancho ". [1]
Esta definición de curva se ha formalizado en las matemáticas modernas como: Una curva es la imagen de un intervalo a un espacio topológico por una función continua . En algunos contextos, la función que define la curva se llama parametrización y la curva es una curva paramétrica . En este artículo, estas curvas a veces se denominan curvas topológicas para distinguirlas de las curvas más restringidas, como las curvas diferenciables . Esta definición abarca la mayoría de las curvas que se estudian en matemáticas; las excepciones notables son las curvas de nivel (que son uniones de curvas y puntos aislados) y las curvas algebraicas (ver más abajo). Las curvas de nivel y las curvas algebraicas a veces se denominan curvas implícitas , ya que generalmente se definen mediante ecuaciones implícitas .
Sin embargo, la clase de curvas topológicas es muy amplia y contiene algunas curvas que no se ven como se podría esperar de una curva, o incluso que no se pueden dibujar. Este es el caso de las curvas que llenan el espacio y las curvas fractales . Para garantizar una mayor regularidad, a menudo se supone que la función que define una curva es diferenciable , y entonces se dice que la curva es una curva diferenciable .
Una curva algebraica plana es el conjunto cero de un polinomio en dos indeterminados . De manera más general, una curva algebraica es el conjunto cero de un conjunto finito de polinomios, que satisface la condición adicional de ser una variedad algebraica de dimensión uno. Si los coeficientes de los polinomios pertenecen a un campo k , se dice que la curva está definida sobre k . En el caso común de una curva algebraica real , donde k es el campo de números reales , una curva algebraica es una unión finita de curvas topológicas. Cuando se consideran ceros complejos , se tiene una curva algebraica compleja que, desde el punto de vista topológico , no es una curva, sino una superficie , y a menudo se denomina superficie de Riemann . Aunque no son curvas en el sentido común, las curvas algebraicas definidas sobre otros campos han sido ampliamente estudiadas. En particular, las curvas algebraicas sobre un campo finito se utilizan ampliamente en la criptografía moderna .
Historia
El interés por las curvas comenzó mucho antes de que fueran objeto de estudio matemático. Esto se puede ver en numerosos ejemplos de su uso decorativo en el arte y en objetos cotidianos que se remontan a la prehistoria. [2] Las curvas, o al menos sus representaciones gráficas, son fáciles de crear, por ejemplo, con un palo en la arena de una playa.
Históricamente, el término línea se usó en lugar del término curva más moderno . Por lo tanto, los términos línea recta y línea derecha se usaron para distinguir lo que hoy se llama líneas de líneas curvas. Por ejemplo, en el Libro I de los Elementos de Euclides , una línea se define como una "longitud sin ancho" (Def. 2), mientras que una línea recta se define como "una línea que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma" (Def. 4). . La idea de Euclides de una línea quizás se aclare con el enunciado "Los extremos de una línea son puntos" (Def. 3). [3] Los comentaristas posteriores clasificaron además las líneas de acuerdo con varios esquemas. Por ejemplo: [4]
- Líneas compuestas (líneas que forman un ángulo)
- Líneas no compuestas
- Determinado (líneas que no se extienden indefinidamente, como el círculo)
- Indeterminado (líneas que se extienden indefinidamente, como la línea recta y la parábola)
Los geómetras griegos habían estudiado muchos otros tipos de curvas. Una de las razones fue su interés en resolver problemas geométricos que no se podían resolver con la construcción estándar de compás y regla . Estas curvas incluyen:
- Las secciones cónicas, estudiadas en profundidad por Apolonio de Perge
- El cisoide de Diocles , estudiado por Diocles y utilizado como método para doblar el cubo . [5]
- La concoide de Nicomedes , estudiada por Nicomedes como método tanto para doblar el cubo como para trisecar un ángulo . [6]
- La espiral de Arquímedes , estudiada por Arquímedes como método para trisecar un ángulo y cuadrar el círculo . [7]
- Las secciones Špirić , secciones de toros estudiados por Perseo como secciones de conos habían sido estudiados por Apolonio.
Un avance fundamental en la teoría de las curvas fue la introducción de la geometría analítica por René Descartes en el siglo XVII. Esto permitió describir una curva utilizando una ecuación en lugar de una construcción geométrica elaborada. Esto no solo permitió definir y estudiar nuevas curvas, sino que permitió establecer una distinción formal entre curvas algebraicas que pueden definirse mediante ecuaciones polinómicas y curvas trascendentales que no. Anteriormente, las curvas se habían descrito como "geométricas" o "mecánicas" según cómo se generaban o supuestamente podían generarse. [2]
Las secciones cónicas fueron aplicadas en astronomía por Kepler . Newton también trabajó en un ejemplo temprano en el cálculo de variaciones . Las soluciones a los problemas variacionales, como las preguntas de la braquistocrona y la tautocrona , introdujeron las propiedades de las curvas de nuevas formas (en este caso, la cicloide ). La catenaria recibe su nombre como la solución al problema de una cadena colgante, el tipo de pregunta que se volvió rutinariamente accesible por medio del cálculo diferencial .
En el siglo XVIII surgieron los inicios de la teoría de las curvas algebraicas planas, en general. Newton había estudiado las curvas cúbicas , en la descripción general de los puntos reales en "óvalos". El enunciado del teorema de Bézout mostró una serie de aspectos que no eran directamente accesibles a la geometría de la época, relacionados con puntos singulares y soluciones complejas.
Desde el siglo XIX, la teoría de curvas se considera el caso especial de la dimensión uno de la teoría de variedades y variedades algebraicas . Sin embargo, muchas preguntas siguen siendo específicas de las curvas, como las curvas que llenan el espacio , el teorema de la curva de Jordan y el decimosexto problema de Hilbert .
Curva topológica
Una curva topológica se puede especificar mediante una función continua de un intervalo I de los números reales en un espacio topológico X . Propiamente hablando, la curva es la imagen de Sin embargo, en algunos contextos, en sí misma se llama curva, especialmente cuando la imagen no se parece a lo que generalmente se llama curva y no se caracteriza lo suficiente
Por ejemplo, la imagen de la curva de Peano o, de manera más general, una curva que llena el espacio llena completamente un cuadrado y, por lo tanto, no brinda información sobre cómo se define.
Una curva está cerrado [8] o es un bucle si y . Por tanto, una curva cerrada es la imagen de un mapeo continuo de un círculo .
Si el dominio de una curva topológica es un intervalo cerrado y acotado, se llama camino , también conocido como arco topológico (o simplementearco ).
Una curva es simple si es la imagen de un intervalo o un círculo por una función continua inyectiva . En otras palabras, si una curva está definida por una función continuacon un intervalo como dominio, la curva es simple si y solo si dos puntos diferentes del intervalo tienen imágenes diferentes, excepto, posiblemente, si los puntos son los puntos finales del intervalo. Intuitivamente, una curva simple es una curva que "no se cruza y no tiene puntos faltantes". [9]
Una curva cerrada simple también se llama curva de Jordan . El teorema de la curva de Jordan establece que el complemento del conjunto en un plano de una curva de Jordan consta de dos componentes conectados (es decir, la curva divide el plano en dos regiones que no se intersecan y que están ambas conectadas).
Una curva plana es una curva para la cuales el plano euclidiano —estos son los ejemplos que se encuentran por primera vez— o en algunos casos el plano proyectivo .Una curva espacial es una curva para la cuales al menos tridimensional; una curva sesgada es una curva espacial que no se encuentra en ningún plano. Estas definiciones de curvas planas, espaciales y oblicuas se aplican también a las curvas algebraicas reales , aunque la definición anterior de una curva no se aplica (una curva algebraica real puede estar desconectada ).
La definición de una curva incluye cifras que difícilmente pueden llamarse curvas en el uso común. Por ejemplo, la imagen de una curva simple puede cubrir un cuadrado en el plano ( curva de relleno de espacio ) y por lo tanto tener un área positiva. [10] Las curvas fractales pueden tener propiedades extrañas para el sentido común. Por ejemplo, una curva fractal puede tener una dimensión de Hausdorff mayor que uno (ver Copo de nieve de Koch ) e incluso un área positiva. Un ejemplo es la curva del dragón , que tiene muchas otras propiedades inusuales.
Curva diferenciable
En términos generales, una curva diferenciable es una curva que se define como la imagen local de una función diferenciable inyectiva.de un intervalo I de los números reales a una variedad X diferenciable , a menudo
Más precisamente, una curva diferenciable es un subconjunto C de X donde cada punto de C tiene una vecindad U tal quees difeomorfo a un intervalo de los números reales. [ aclaración necesaria ] En otras palabras, una curva diferenciable es una variedad diferenciable de dimensión uno.
Arco diferenciable
En la geometría euclidiana , un arco (símbolo: ⌒ ) es un subconjunto conectado de una curva diferenciable .
Los arcos de líneas se denominan segmentos o rayos , según estén delimitados o no.
Un ejemplo curvo común es un arco de círculo , llamado arco circular .
En una esfera (o un esferoide ), un arco de un gran círculo (o una gran elipse ) se llama un gran arco .
Longitud de una curva
Si es el -espacio euclidiano dimensional, y si es una función inyectiva y continuamente diferenciable, entonces la longitud de se define como la cantidad
La longitud de una curva es independiente de la parametrización. .
En particular, la longitud de la gráfica de una función continuamente diferenciable definido en un intervalo cerrado es
De manera más general, si es un espacio métrico con métrica, entonces podemos definir la longitud de una curva por
donde el supremo se hace cargo de todos y todas las particiones de .
Una curva rectificable es una curva de longitud finita . Una curvase llama natural (o velocidad unitaria o parametrizado por la longitud del arco) si por alguna tal que , tenemos
Si es una función continua de Lipschitz , entonces es automáticamente rectificable. Además, en este caso, se puede definir la velocidad (o derivada métrica ) de a as
and then show that
Differential geometry
While the first examples of curves that are met are mostly plane curves (that is, in everyday words, curved lines in two-dimensional space), there are obvious examples such as the helix which exist naturally in three dimensions. The needs of geometry, and also for example classical mechanics are to have a notion of curve in space of any number of dimensions. In general relativity, a world line is a curve in spacetime.
If is a differentiable manifold, then we can define the notion of differentiable curve in . This general idea is enough to cover many of the applications of curves in mathematics. From a local point of view one can take to be Euclidean space. On the other hand, it is useful to be more general, in that (for example) it is possible to define the tangent vectors to by means of this notion of curve.
If is a smooth manifold, a smooth curve in is a smooth map
- .
This is a basic notion. There are less and more restricted ideas, too. If is a manifold (i.e., a manifold whose charts are times continuously differentiable), then a curve in is such a curve which is only assumed to be (i.e. times continuously differentiable). If is an analytic manifold (i.e. infinitely differentiable and charts are expressible as power series), and is an analytic map, then is said to be an analytic curve.
A differentiable curve is said to be regular if its derivative never vanishes. (In words, a regular curve never slows to a stop or backtracks on itself.) Two differentiable curves
- and
are said to be equivalent if there is a bijective map
such that the inverse map
is also , and
for all . The map is called a reparametrization of ; and this makes an equivalence relation on the set of all differentiable curves in . A arc is an equivalence class of curves under the relation of reparametrization.
Curva algebraica
Algebraic curves are the curves considered in algebraic geometry. A plane algebraic curve is the set of the points of coordinates x, y such that f(x, y) = 0, where f is a polynomial in two variables defined over some field F. One says that the curve is defined over F. Algebraic geometry normally considers not only points with coordinates in F but all the points with coordinates in an algebraically closed field K.
If C is a curve defined by a polynomial f with coefficients in F, the curve is said to be defined over F.
In the case of a curve defined over the real numbers, one normally considers points with complex coordinates. In this case, a point with real coordinates is a real point, and the set of all real points is the real part of the curve. It is therefore only the real part of an algebraic curve that can be a topological curve (this is not always the case, as the real part of an algebraic curve may be disconnected and contain isolated points). The whole curve, that is the set of its complex point is, from the topological point of view a surface. In particular, the nonsingular complex projective algebraic curves are called Riemann surfaces.
The points of a curve C with coordinates in a field G are said to be rational over G and can be denoted C(G). When G is the field of the rational numbers, one simply talks of rational points. For example, Fermat's Last Theorem may be restated as: For n > 2, every rational point of the Fermat curve of degree n has a zero coordinate.
Algebraic curves can also be space curves, or curves in a space of higher dimension, say n. They are defined as algebraic varieties of dimension one. They may be obtained as the common solutions of at least n–1 polynomial equations in n variables. If n–1 polynomials are sufficient to define a curve in a space of dimension n, the curve is said to be a complete intersection. By eliminating variables (by any tool of elimination theory), an algebraic curve may be projected onto a plane algebraic curve, which however may introduce new singularities such as cusps or double points.
A plane curve may also be completed to a curve in the projective plane: if a curve is defined by a polynomial f of total degree d, then wdf(u/w, v/w) simplifies to a homogeneous polynomial g(u, v, w) of degree d. The values of u, v, w such that g(u, v, w) = 0 are the homogeneous coordinates of the points of the completion of the curve in the projective plane and the points of the initial curve are those such that w is not zero. An example is the Fermat curve un + vn = wn, which has an affine form xn + yn = 1. A similar process of homogenization may be defined for curves in higher dimensional spaces.
Except for lines, the simplest examples of algebraic curves are the conics, which are nonsingular curves of degree two and genus zero. Elliptic curves, which are nonsingular curves of genus one, are studied in number theory, and have important applications to cryptography.
Ver también
- Coordinate curve
- Curve orientation
- Curve sketching
- Differential geometry of curves
- Gallery of curves
- List of curves topics
- List of curves
- Osculating circle
- Parametric surface
- Path (topology)
- Position vector
- Vector-valued function
- Curve fitting
- Winding number
Notas
- ^ In current mathematical usage, a line is straight. Previously lines could be either curved or straight.
Referencias
- ^ In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
- ^ a b Lockwood p. ix
- ^ Heath p. 153
- ^ Heath p. 160
- ^ Lockwood p. 132
- ^ Lockwood p. 129
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Spiral of Archimedes", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ This term my be ambiguous, as a non-closed curve may be a closed set, as is a line in a plane
- ^ "Jordan arc definition at Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc". Dictionary.reference.com. Retrieved 2012-03-14.
- ^ Osgood, William F. (January 1903). "A Jordan Curve of Positive Area". Transactions of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 4 (1): 107–112. doi:10.2307/1986455. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455.
- A.S. Parkhomenko (2001) [1994], "Line (curve)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- B.I. Golubov (2001) [1994], "Rectifiable curve", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
- E. H. Lockwood A Book of Curves (1961 Cambridge)
enlaces externos
- Famous Curves Index, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
- Mathematical curves A collection of 874 two-dimensional mathematical curves
- Gallery of Space Curves Made from Circles, includes animations by Peter Moses
- Gallery of Bishop Curves and Other Spherical Curves, includes animations by Peter Moses
- The Encyclopedia of Mathematics article on lines.
- The Manifold Atlas page on 1-manifolds.