En el campo matemático de la teoría de modelos , una teoría completa se llama estable si no tiene demasiados tipos . Uno de los objetivos de la teoría de la clasificación es dividir todas las teorías completas en aquellas cuyos modelos pueden clasificarse y aquellas cuyos modelos son demasiado complicados de clasificar, y clasificar todos los modelos en los casos en que esto se pueda hacer. En términos generales, si una teoría no es estable, entonces sus modelos son demasiado complicados y numerosos para clasificarlos, mientras que si una teoría es estable puede haber alguna esperanza de clasificar sus modelos, especialmente si la teoría es superestable o totalmente trascendental .
La teoría de la estabilidad fue iniciada por Morley (1965) , quien introdujo varios de los conceptos fundamentales, como las teorías totalmente trascendentales y el rango de Morley . Las teorías estables y superestables fueron introducidas por primera vez por Shelah (1969) , responsable de gran parte del desarrollo de la teoría de la estabilidad. La referencia definitiva para la teoría de la estabilidad es ( Shelah 1990 ), aunque es notoriamente difícil de leer incluso para los expertos, como se menciona, por ejemplo, en ( Grossberg, Iovino & Lessmann 2002 , p. 542).
Definiciones
T será una teoría completa en algún idioma.
- T se llama κ- estable (para un κ cardinal infinito ) si para cada conjunto A de cardinalidad κ, el conjunto de tipos completos sobre A tiene cardinalidad κ .
- ω-estable es un nombre alternativo para ℵ 0- estable.
- T se llama estable si es κ -estable para algún κ cardinal infinito .
- T se llama inestable si no es κ -estable para cualquier κ cardinal infinito .
- T se llama superestable si es κ -estable para todos los cardenales κ suficientemente grandes .
- Las teorías totalmente trascendentales son aquellas en las que cada fórmula tiene un rango de Morley menor que ∞.
Como es habitual, se dice que un modelo de algún lenguaje tiene una de estas propiedades si la teoría completa del modelo tiene esa propiedad.
Una teoría incompleta se define para tener una de estas propiedades si cada terminación, o equivalentemente cada modelo, tiene esta propiedad.
Teorías inestables
En términos generales, una teoría es inestable si se puede utilizar para codificar el conjunto ordenado de números naturales. Más precisamente, Saharon Sela 's inestable teorema de fórmula en la teoría de modelos caracteriza las teorías inestables por la no existencia de infinito numerable gráficos medio . Shelah define una teoría completa que tiene la propiedad de orden si existe un modelo de la teoría, una fórmula en dos tuplas finitas de variables libres y , y, un sistema de muchos valores contables y para estas variables de modo que los pares Formar los bordes de un medio gráfico contable en vértices. y . Intuitivamente, la existencia de estas medias gráficas permite construir la operación de comparación de un conjunto ordenado infinito dentro del modelo, a través de la equivalencia. El teorema de la fórmula inestable de Shelah (1990 , págs. 30-31) establece que una teoría completa es inestable si y sólo si tiene la propiedad de orden.
El número de modelos de una teoría inestable T de cualquier cardinalidad incontable κ ≥ | T | es el número máximo posible 2 κ .
Ejemplos:
- La mayoría de las teorías suficientemente complicadas, como las teorías de conjuntos y la aritmética de Peano , son inestables.
- La teoría de los números racionales, considerada como un conjunto ordenado, es inestable. Su teoría es la teoría de órdenes totales densos sin puntos finales . De manera más general, la teoría de todo orden total infinito es inestable.
- La teoría de la suma de los números naturales es inestable.
- Cualquier álgebra booleana infinita es inestable.
- Cualquier monoide con cancelación que no sea un grupo es inestable, porque si a es un elemento que no es una unidad entonces las potencias de a forman un conjunto infinito totalmente ordenado bajo la relación de divisibilidad . Por una razón similar, cualquier dominio integral que no sea un campo es inestable.
- Hay muchos grupos nilpotentes inestables . Un ejemplo es el grupo de Heisenberg de dimensión infinita sobre los enteros: este es generado por los elementos x i , y i , z para todos los números naturales i , con las relaciones que cualquiera de estos dos generadores conmuta excepto que x i y y i tienen conmutador z para cualquier i . Si a i es el elemento x 0 x 1 ... x i −1 y i entonces a i y a j tienen conmutador z exactamente cuando i < j , entonces forman un orden total infinito bajo una relación definible, entonces el grupo es inestable.
- Los campos cerrados reales son inestables, ya que son infinitos y tienen un orden total definible.
Teorías estables
T se llama estable si es κ -estable para algún κ cardinal . Ejemplos:
- La teoría de cualquier módulo sobre un anillo es estable.
- La teoría de un número contable de relaciones de equivalencia, ( E n ) n ∈ N , tal que cada relación de equivalencia tiene un número infinito de clases de equivalencia y cada clase de equivalencia de E n es la unión de un número infinito de clases diferentes de E n +1 es estable pero no superestable.
- Sela (2013) mostró que los grupos libres , y más generalmente los grupos hiperbólicos libres de torsión , son estables. Los grupos gratuitos en más de un generador no son superestables.
- Un campo diferencialmente cerrado es estable. Si tiene una característica distinta de cero , no es superestable, y si tiene una característica cero, es totalmente trascendental.
Teorías superestables
T se llama superestable si es estable para todos los cardenales suficientemente grandes, por lo que todas las teorías superestables son estables. Para T contable , la superestabilidad es equivalente a la estabilidad para todo κ ≥ 2 ω . Las siguientes condiciones de una teoría T son equivalentes:
- T es superestable.
- Todos los tipos de T se clasifican por al menos una noción de rango.
- T es κ -estable para todos los cardenales suficientemente grandes κ
- T es κ -estable para todos los cardenales κ que son al menos 2 | T | .
Si una teoría es superestable pero no totalmente trascendental, se la llama estrictamente superestable .
El número de modelos contables de una teoría superestable contable debe ser 1, ℵ 0 , ℵ 1 o 2 ω . Si el número de modelos es 1 la teoría es totalmente trascendental. Hay ejemplos con modelos 1, ℵ 0 o 2 ω , y no se sabe si hay ejemplos con modelos ℵ 1 si la hipótesis del continuo no se cumple. Si una teoría T no es superestable, entonces el número de modelos de cardinalidad κ > | T | es 2 κ .
Ejemplos:
- El grupo aditivo de números enteros es superestable, pero no totalmente trascendental. Tiene 2 ω modelos contables.
- La teoría con un número contable de relaciones unarias P i con modelo de los enteros positivos donde P i ( n ) se interpreta diciendo que n es divisible por el i- ésimo primo es superestable pero no totalmente trascendental.
- Un grupo abeliano A es superestable si y solo si hay solo un número finito de pares ( p , n ) con p primo, n un número natural, con p n A / p n +1 A infinito.
Teorías totalmente trascendentales y ω-estable
- Las teorías totalmente trascendentales son aquellas en las que cada fórmula tiene un rango de Morley menor que ∞. Las teorías totalmente trascendentales son estables en λ siempre que λ ≥ | T |, por lo que siempre son superestables. ω-estable es un nombre alternativo para ℵ 0- estable. Las teorías ω-estables en un lenguaje contable son κ -estables para todos los infinitos cardinales κ . Si | T | es contable, entonces T es totalmente trascendental si y solo si es ω-estable. De manera más general, T es totalmente trascendental si y solo si cada restricción de T a una lengua contable es estable.
Ejemplos:
- Cualquier teoría ω-estable es totalmente trascendental.
- Cualquier modelo finito es totalmente trascendental.
- Un campo infinito es totalmente trascendental si y solo si está algebraicamente cerrado . ( Teorema de Macintyre ).
- Un campo diferencialmente cerrado en la característica 0 es totalmente trascendental.
- Cualquier teoría con un lenguaje contable que sea categórico para algún incontable cardenal es totalmente trascendental.
- Un grupo abeliano es totalmente trascendental si y solo si es la suma directa de un grupo divisible y un grupo de exponente acotado .
- Cualquier grupo algebraico lineal sobre un campo algebraicamente cerrado es totalmente trascendental.
- Cualquier grupo de rango finito de Morley es totalmente trascendental.
Ver también
- Espectro de una teoría
- Teorema de categoricidad de Morley
- Lista de teorías de primer orden
- Espectro de estabilidad
Referencias
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enlaces externos
- A. Pillay, notas de la conferencia sobre la teoría de modelos
- A. Pillay, notas de la conferencia sobre la teoría de la estabilidad
- A. Pillay, notas de la conferencia sobre la teoría de la estabilidad aplicada