En matemáticas , un espacio Borel estándar es el espacio Borel asociado a un espacio polaco . Descontando los espacios Borel de los espacios polacos discretos, hay, hasta el isomorfismo de los espacios medibles, solo un espacio Borel estándar.
Definicion formal
Se dice que un espacio medible ( X ,) es "Borel estándar" si existe una métrica en X que lo convierte en un espacio métrico separable completo de tal manera que Σ es entonces el σ-álgebra de Borel . [1] Los espacios Borel estándar tienen varias propiedades útiles que no son válidas para espacios medibles generales.
Propiedades
- Si ( X , Σ) e ( Y , Τ) son Borel estándar, entonces cualquier mapeo medible biyectivo es un isomorfismo (es decir, el mapeo inverso también es medible). Esto se sigue del teorema de Souslin , ya que un conjunto que es tanto analítico como coanalítico es necesariamente Borel.
- Si ( X , Σ) e ( Y , Τ) son espacios estándar de Borel yentonces f es medible si y solo si la gráfica de f es Borel.
- El producto y la unión directa de una familia contable de espacios Borel estándar son estándar.
- Cada medida de probabilidad completa en un espacio Borel estándar lo convierte en un espacio de probabilidad estándar .
Teorema de Kuratowski
Teorema . Sea X un espacio polaco , es decir, un espacio topológico tal que exista una métrica d en X que defina la topología de X y que haga de X un espacio métrico completo separable. Entonces X como un espacio de Borel es Borel isomorfo a uno de (1) R , (2) Z o (3) un espacio finito. (Este resultado recuerda al teorema de Maharam ).
De ello se deduce que un espacio Borel estándar se caracteriza hasta el isomorfismo por su cardinalidad, [2] y que cualquier espacio Borel estándar incontable tiene la cardinalidad del continuo.
Los isomorfismos de Borel en espacios estándar de Borel son análogos a los homeomorfismos en espacios topológicos : ambos son biyectivos y cerrados bajo composición, y un homeomorfismo y su inverso son ambos continuos , en lugar de que ambos sean solo Borel medibles.
Referencias
- ^ Mackey, GW (1957): Estructura de Borel en grupos y sus duales. Trans. Soy. Matemáticas. Soc., 85, 134-165.
- ^ Srivastava, SM (1991), Un curso sobre conjuntos de Borel , Springer Verlag , ISBN 0-387-98412-7