En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una bandera es una secuencia creciente de subespacios de un espacio vectorial V de dimensión finita . Aquí, "creciente" significa que cada uno es un subespacio adecuado del siguiente (ver filtración ):
El término bandera está motivado por un ejemplo particular que se asemeja a una bandera : el punto cero, una línea y un plano corresponden a un clavo, una vara y una hoja de tela. [1]
Si escribimos que dim V i = d i entonces tenemos
donde n es la dimensión de V (se supone que es finita). Por tanto, debemos tener k ≤ n . Una bandera se llama bandera completa si d i = i para todo i ; de lo contrario, se llama bandera parcial .
Se puede obtener un indicador parcial a partir de un indicador completo eliminando algunos de los subespacios. A la inversa, cualquier indicador parcial se puede completar (de muchas formas diferentes) insertando subespacios adecuados.
La firma de la bandera es la secuencia ( d 1 ,…, d k ).
Bases
Se dice que una base ordenada para V se adapta a una bandera V 0 ⊂ V 1 ⊂ ... ⊂ V k si los primeros vectores de base d i forman una base para V i para cada 0 ≤ i ≤ k . Los argumentos estándar del álgebra lineal pueden mostrar que cualquier bandera tiene una base adaptada.
Cualquier base ordenada da lugar a una bandera completa al permitir que V i sea el intervalo de los primeros vectores de base i . Por ejemplo, elLa bandera estándar enR n se induce a partir de labase estándar(e1, ...,e n ) dondee i denota el vector con un 1 en lai-ésima entrada y 0 en el resto. Concretamente, la bandera estándar es la secuencia de subespacios:
Una base adaptada casi nunca es única (los contraejemplos son triviales); vea abajo.
Una bandera completa en un espacio de producto interno tiene una base ortonormal esencialmente única : es única hasta multiplicar cada vector por una unidad (escalar de unidad de longitud, por ejemplo, 1, -1, i ). Esto es más fácil de probar inductivamente , notando que[ cita requerida ] , que lo define de forma única hasta unidad.
De manera más abstracta, es único hasta una acción del toro máximo : la bandera corresponde al grupo Borel y el producto interno corresponde al subgrupo compacto máximo . [2]
Estabilizador
El subgrupo estabilizador de la bandera estándar es el grupo de matrices triangulares superiores invertibles .
De manera más general, el estabilizador de una bandera (los operadores lineales en V tales quepara todo i ) es, en términos matriciales, el álgebra de bloques de matrices triangulares superiores (con respecto a una base adaptada), donde los tamaños de bloque. El subgrupo estabilizador de una bandera completa es el conjunto de matrices triangulares superiores invertibles con respecto a cualquier base adaptada a la bandera. El subgrupo de matrices triangulares inferiores con respecto a dicha base depende de esa base y, por lo tanto, no puede caracterizarse únicamente en términos de la bandera.
El subgrupo estabilizador de cualquier bandera completa es un subgrupo Borel (del grupo lineal general ), y el estabilizador de cualquier bandera parcial es un subgrupo parabólico .
El subgrupo estabilizador de una bandera actúa simplemente de manera transitiva sobre bases adaptadas para la bandera y, por lo tanto, estas no son únicas a menos que el estabilizador sea trivial. Esa es una circunstancia muy excepcional: ocurre solo para un espacio vectorial de dimensión 0, o para un espacio vectorial de más de de dimensión 1 (precisamente los casos en los que existe una sola base, independientemente de cualquier bandera).
Nido subespacial
En un espacio V de dimensión infinita , como se usa en el análisis funcional , la idea de la bandera se generaliza a un nido subespacial , es decir, una colección de subespacios de V que es un orden total de inclusión y que además está cerrado bajo intersecciones arbitrarias y vanos lineales cerrados. Ver álgebra de nidos .
Análogos de la teoría de conjuntos
Desde el punto de vista del campo con un elemento , un conjunto puede verse como un espacio vectorial sobre el campo con un elemento: esto formaliza varias analogías entre grupos Coxeter y grupos algebraicos .
Bajo esta correspondencia, una ordenación en un conjunto corresponde a una bandera máxima: una ordenación equivale a una filtración máxima de un conjunto. Por ejemplo, la filtración (bandera) corresponde al pedido .
Ver también
Referencias
- Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012). Álgebra lineal y geometría . Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.