Línea (geometría)
En geometría, la noción de línea o línea recta fue introducida por los antiguos matemáticos para representar objetos rectos (es decir, que no tienen curvatura ) con un ancho y profundidad insignificantes. Las líneas son una idealización de tales objetos, que a menudo se describen en términos de dos puntos (p. Ej., ) O se refieren a ellos con una sola letra (p . Ej., ). [1]
Hasta el siglo XVII, las líneas se definían como la "[...] primera especie de cantidad, que tiene una sola dimensión, a saber, la longitud, sin ancho ni profundidad, y no es otra cosa que el fluir o correr del punto que [ ...] dejará de su movimiento imaginario algún vestigio de largo, exento de cualquier ancho. [...] La recta es la que se extiende igualmente entre sus puntas. " [2]
Euclides describió una línea como "longitud sin ancho" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma"; introdujo varios postulados como propiedades básicas indemostrables a partir de las cuales construyó toda la geometría, que ahora se llama geometría euclidiana para evitar confusiones con otras geometrías que se han introducido desde finales del siglo XIX (como la geometría no euclidiana , proyectiva y afín ).
En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica , una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , pero en un escenario más abstracto, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente, distinto de el conjunto de puntos que reposan sobre él.
Cuando una geometría se describe mediante un conjunto de axiomas , la noción de línea suele dejarse indefinida (lo que se denomina un objeto primitivo ). Las propiedades de las líneas están entonces determinadas por los axiomas que se refieren a ellas. Una ventaja de este enfoque es la flexibilidad que brinda a los usuarios de la geometría. Así, en geometría diferencial , una línea puede interpretarse como una geodésica (la ruta más corta entre puntos), mientras que en algunas geometrías proyectivas , una línea es un espacio vectorial bidimensional (todas las combinaciones lineales de dos vectores independientes). Esta flexibilidad también se extiende más allá de las matemáticas y, por ejemplo, permite a los físicos pensar en la trayectoria de un rayo de luz como una línea.
Todas las definiciones son, en última instancia , de naturaleza circular , ya que dependen de conceptos que deben tener ellos mismos definiciones, dependencia que no puede continuar indefinidamente sin volver al punto de partida. Para evitar este círculo vicioso, ciertos conceptos deben tomarse como conceptos primitivos ; términos que no se definen. [3] En geometría, es frecuente que el concepto de línea se tome como un primitivo. [4] En aquellas situaciones en las que una línea es un concepto definido, como en la geometría de coordenadas , algunas otras ideas fundamentales se toman como primitivas. Cuando el concepto de línea es primitivo, el comportamiento y las propiedades de las líneas están dictados por los axiomas. que deben satisfacer.
