Un número de producto de suma en una base numérica dada es un número natural que es igual al producto de la suma de sus dígitos por el producto de sus dígitos.
Hay un número finito de números de producto de suma en cualquier base dada. . [1] En base 10, hay exactamente cuatro números de producto de suma (secuencia A038369 en la OEIS ): 0, 1, 135 y 144. [2]
Definición
Dejar ser un número natural. Definimos la función suma-producto para base ser el siguiente:
dónde es el número de dígitos en el número en base , y
es el valor de cada dígito del número. Un numero naturales un número de producto de suma si es un punto fijo para, que ocurre si . Los números naturales 0 y 1 son números triviales de suma-producto para todos, y todos los demás números de producto de suma son números de producto de suma no triviales .
Por ejemplo, el número 144 en base 10 es un número de producto de suma, porque, , y .
Un numero natural es un número de suma-producto sociable si es un punto periódico para, dónde para un entero positivo , y forma un ciclo de período. Un número de producto de suma es un número de producto de suma sociable con, y un número de suma-producto amigable es un número de suma-producto sociable con.
Todos los números naturales son puntos preperiódicos para, independientemente de la base. Esto se debe a que para cualquier recuento de dígitos dado, el valor mínimo posible de es y el valor máximo posible de es . Por tanto, la máxima suma de dígitos posible es y el producto de dígitos máximo posible es . Por tanto, el valor de la función suma-producto es. Esto sugiere que, o dividiendo ambos lados por , . Desde, esto significa que habrá un valor máximo dónde , debido a la naturaleza exponencial dey la linealidad de. Más allá de este valor, siempre. Por lo tanto, hay un número finito de números de producto de suma, [1] y se garantiza que cualquier número natural alcanzará un punto periódico o un punto fijo menor que, convirtiéndolo en un punto preperiódico.
El número de iteraciones necesitado para alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función suma-producto dee indefinido si nunca llega a un punto fijo.
Cualquier entero que se muestre como un número de producto de suma en una base dada debe, por definición, ser también un número de Harshad en esa base.
Números de producto de suma y ciclos de F b para b específico
Todos los números están representados en base .
Base | Números de producto de suma no triviales | Ciclos |
---|---|---|
2 | (ninguno) | (ninguno) |
3 | (ninguno) | 2 → 11 → 2, 22 → 121 → 22 |
4 | 12 | (ninguno) |
5 | 341 | 22 → 31 → 22 |
6 | (ninguno) | (ninguno) |
7 | 22, 242, 1254, 2343, 116655, 346236, 424644 | |
8 | (ninguno) | |
9 | 13, 281876, 724856, 7487248 | 53 → 143 → 116 → 53 |
10 | 135, 144 | |
11 | 253, 419, 2189, 7634, 82974 | |
12 | 128, 173, 353 | |
13 | 435, A644, 268956 | |
14 | 328, 544, 818C | |
15 | 2585 | |
dieciséis | 14 | |
17 | 33, 3B2, 3993, 3E1E, C34D, C8A2 | |
18 | 175, 2D2, 4B2 | |
19 | 873, B1E, 24A8, EAH1, 1A78A, 6EC4B7 | |
20 | 1D3, 14C9C y 22DCCG | |
21 | 1CC69 | |
22 | 24, 366C, 6L1E, 4796G | |
23 | 7D2, J92, 25EH6 | |
24 | 33DC | |
25 | 15, BD75, 1BBN8A | |
26 | 81M, JN44, 2C88G, EH888 | |
27 | ||
28 | 15B | |
29 | ||
30 | 976, 85MDA | |
31 | 44, 13H, 1E5 | |
32 | ||
33 | 1KS69, 54HSA | |
34 | 25Q8, 16L6W, B6CBQ | |
35 | 4U5W5 | |
36 | 16, 22O |
Extensión a enteros negativos
Los números de producto de la suma se pueden extender a los enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada entero.
Ejemplo de programación
El siguiente ejemplo implementa la función suma-producto descrita en la definición anterior para buscar números y ciclos de suma-producto en Python .
def suma_producto ( x : int , b : int ) -> int : "" "Número de suma-producto." "" suma_x = 0 producto = 1 while x > 0 : si x % b > 0 : suma_x = suma_x + x % b producto = producto * ( x % b ) x = x // b devuelve suma_x * productodef sum_product_cycle ( x : int , b : int ) -> lista [ int ]: visto = [] mientras que x no está en visto : visto . añadir ( x ) x = suma_producto ( x , b ) ciclo = [] mientras que x no está en ciclo : ciclo . append ( x ) x = sum_product ( x , b ) ciclo de retorno
Ver también
- Dinámica aritmética
- Número de Dudeney
- Factorion
- Feliz numero
- La constante de Kaprekar
- Número de Kaprekar
- Número de Meertens
- Número narcisista
- Perfecta invariante de dígito a dígito
- Invariante digital perfecto
Referencias
- ^ a b Prueba de que el número de números de producto de suma en cualquier base es finito , PlanetMath . Archivado el 9 de mayo de 2013 en la Wayback Machine por Raymond Puzio
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A038369 (Números n tales que n = (producto de dígitos de n) * (suma de dígitos de n).)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.