Número surrealista
En matemáticas , el sistema numérico surrealista es una clase propia totalmente ordenada que contiene los números reales así como los números infinitesimales e infinitesimales , respectivamente mayores o menores en valor absoluto que cualquier número real positivo. Los surrealistas comparten muchas propiedades con los reales, incluidas las operaciones aritméticas habituales (suma, resta, multiplicación y división); como tales, forman un campo ordenado . [a] Si se formula en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel, los números surrealistas son un campo ordenado universal en el sentido de que todos los demás campos ordenados, como los racionales, los reales, las funciones racionales , el campo Levi-Civita , los números superreales y los números hiperrealistas , pueden realizarse como subcampos. de los surrealistas. [1] Los surrealistas también contienen todos los números ordinales transfinitos ; la aritmética sobre ellos viene dada por las operaciones naturales . También se ha demostrado (en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel) que el campo hiperreal de clase máxima es isomorfo al campo surrealista de clase máxima.
La investigación sobre el final de Go de John Horton Conway condujo a la definición y construcción originales de los números surrealistas. [2] La construcción de Conway se introdujo en el libro de 1974 de Donald Knuth Números surrealistas: cómo dos exalumnos se volvieron hacia las matemáticas puras y encontraron la felicidad total . En su libro, que toma la forma de un diálogo, Knuth acuñó el término números surrealistas para lo que Conway había llamado simplemente números . [3] Conway adoptó más tarde el término de Knuth y usó surrealistas para analizar juegos en su libro de 1976 Sobre números y juegos .
Una ruta separada para definir los surrealistas comenzó en 1907, cuando Hans Hahn introdujo las series de Hahn como una generalización de las series formales de potencia , y Hausdorff introdujo ciertos conjuntos ordenados llamados η α -sets para ordinales α y preguntó si era posible encontrar un orden ordenado compatible. estructura de grupo o campo. En 1962, Alling usó una forma modificada de la serie de Hahn para construir tales campos ordenados asociados a ciertos ordinales α, y en 1987 demostró que tomar α como la clase de todos los ordinales en su construcción da una clase que es un campo ordenado isomorfo al números surrealistas. [4]
Si los surrealistas se consideran `` solo '' un campo cerrado real del tamaño de clase adecuado, el artículo de Alling de 1962 maneja el caso de los cardenales fuertemente inaccesibles que, naturalmente, pueden considerarse clases adecuadas al cortar la jerarquía acumulativa del universo una etapa por encima del cardinal, y Alling, en consecuencia, merece mucho crédito por el descubrimiento / invención de los surrealistas en este sentido. Sin embargo, existe una estructura de campo adicional importante en los surrealistas que no es visible a través de esta lente, a saber, la noción de un 'cumpleaños' y la correspondiente descripción natural de los surrealistas como resultado de un proceso de relleno de cortes a lo largo de sus cumpleaños dado por Conway. Esta estructura adicional se ha vuelto fundamental para una comprensión moderna de los números surrealistas,y, por lo tanto, se le da crédito a Conway por haber descubierto los surrealistas tal como los conocemos hoy. El propio Alling le da todo el crédito a Conway en un artículo de 1985 que precede a su libro sobre el tema.[5]
En la construcción Conway, [6] los números surrealistas se construyen en etapas, junto con un ordenamiento ≤ tal que para cualquier par de números surreales a y b , un ≤ b o b ≤ una . (Ambos pueden contener, en cuyo caso un y b son equivalentes y denotan el mismo número.) Cada número está formado de un par ordenado de subconjuntos de números ya construidos: dado subconjuntos L y R de números tales que todos los miembros de L son estrictamente menor que todos los miembros de R , entonces el par { L |R } representa un número intermedio en valor entre todos los miembros de L y todos los miembrosde R.
