Poder simbólico de un ideal
En álgebra y geometría algebraica , dado un anillo noetheriano conmutativo y un ideal en él, la n -ésima potencia simbólica de es el ideal
donde es la localización de to y la intersección pasa por todos los números primos asociados de
Aunque no es necesario que esta definición sea prima , a menudo se trabaja con esta suposición porque, en el caso de un ideal primo , el poder simbólico se puede definir de manera equivalente como el componente primario de . A grandes rasgos, consta de funciones con ceros de orden n a lo largo de la variedad definida por . Tenemos: y si es un ideal maximal , entonces .
El estudio y uso de los poderes simbólicos tiene una larga historia en el álgebra conmutativa . La famosa demostración de Krull de su principal teorema del ideal los utiliza de manera esencial. Surgieron por primera vez después de que se demostraron las descomposiciones primarias de los anillos de Noether . Zariski utilizó poderes simbólicos en su estudio de la normalidad analítica de las variedades algebraicas . El famoso lema de Chevalley que compara topologías establece que en un dominio local completo la topología de potencias simbólicas de cualquier primo es más fina que lam -topología ádica . Un paso crucial en el teorema de desaparición de la cohomología local de Hartshorne y Lichtenbaum utiliza que para un número primo quedefine una curva en un dominio local completo , las potencias deson cofinales con las potencias simbólicas de. Esta importante propiedad de ser cofinal fue desarrollada por Schenzel en la década de 1970. [1]
Aunque los generadores de potencias ordinarias de se entienden bien cuando se dan en términos de sus generadores como , todavía es muy difícil en muchos casos determinar los generadores de potencias simbólicas de . Pero en el marco geométrico , existe una clara interpretación geométrica en el caso de que se trate de un ideal radical sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero .
