Un número tetraédrico , o número piramidal triangular , es un número figurado que representa una pirámide con una base triangular y tres lados, llamado tetraedro . El n- ésimo número tetraédrico, Te n , es la suma de los primeros n números triangulares , es decir,
Los números tetraédricos son:
Fórmula
La fórmula para el n- ésimo número tetraédrico está representada por el tercer factorial ascendente de n dividido por el factorial de 3:
Los números tetraédricos también se pueden representar como coeficientes binomiales :
Por lo tanto, los números tetraédricos se pueden encontrar en la cuarta posición desde la izquierda o la derecha en el triángulo de Pascal .
Pruebas de fórmula
Esta demostración usa el hecho de que el n- ésimo número triangular viene dado por
Procede por inducción .
- Caso base
- Paso inductivo
La fórmula también se puede probar mediante el algoritmo de Gosper .
Interpretación geométrica
Los números tetraédricos se pueden modelar apilando esferas. Por ejemplo, el quinto número tetraédrico ( Te 5 = 35 ) se puede modelar con 35 bolas de billar y el marco de bolas de billar triangular estándar que sostiene 15 bolas en su lugar. Luego se apilan 10 bolas más encima de ellas, luego otras 6, luego otras tres y una bola en la parte superior completa el tetraedro.
Cuando orden- n tetraedros construyen a partir de Te n esferas se utilizan como una unidad, se puede demostrar que un espacio embaldosado con tales unidades puede lograr un más denso empaquetamiento de esferas mientras n ≤ 4 . [1] [ dudoso ]
Raíces tetraédricas y pruebas de números tetraédricos
Por analogía con la raíz cúbica de x , se puede definir la raíz tetraédrica (real) de x como el número n tal que Te n = x :
que se sigue de la fórmula de Cardano . De manera equivalente, si la raíz tetraédrica real n de x es un número entero, entonces x es el n- ésimo número tetraédrico.
Propiedades
- Te n + Te n −1 = 1 2 + 2 2 + 3 2 ... + n 2 , los números piramidales cuadrados .
- AJ Meyl demostró en 1878 que solo tres números tetraédricos también son cuadrados perfectos , a saber:
- Te 1 = 1 2 = 1
- Te 2 = 2 2 = 4
- Te 48 = 140 2 = 19600 .
- Sir Frederick Pollock conjeturó que cada número es la suma de un máximo de 5 números tetraédricos: véase la conjetura de los números tetraédricos de Pollock .
- El único número tetraédrico que también es un número piramidal cuadrado es 1 (Beukers, 1988), y el único número tetraédrico que también es un cubo perfecto es 1.
- La suma infinita de los recíprocos de los números tetraédricos es3/2, que se puede derivar utilizando series telescópicas :
- La paridad de los números tetraédricos sigue el patrón repetitivo impar-par-par-par.
- Una observación de números tetraédricos:
- Te 5 = Te 4 + Te 3 + Te 2 + Te 1
- Los números triangulares y tetraédricos deben satisfacer la ecuación del coeficiente binomial :
Cultura popular
Te 12 = 364 es el número total de regalos que "mi verdadero amor me envió" durante el transcurso de los 12 versos del villancico, " Los doce días de Navidad ". [2] El número total acumulativo de regalos después de cada verso también es Te n para el verso n .
El número de posibles combinaciones de tres casas de KeyForge también es un número tetraédrico, Te n −2 donde n es el número de casas.
Ver también
Referencias
- ^ "Tetraedros" . web.archive.org . 21 de mayo de 2000.
- ^ Brent (21 de diciembre de 2006). "Los doce días de Navidad y números tetraédricos" . Mathlesstraveled.com . Consultado el 28 de febrero de 2017 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Número tetraédrico" . MathWorld .
- Prueba geométrica de la fórmula del número tetraédrico por Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project .