Análisis complejo

El análisis complejo , conocido tradicionalmente como teoría de funciones de una variable compleja , es la rama del análisis matemático que investiga las funciones de números complejos . Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluida la geometría algebraica , la teoría de números , la combinatoria analítica , las matemáticas aplicadas ; así como en física , incluidas las ramas de la hidrodinámica , la termodinámica y, en particular, la mecánica cuántica . Por extensión, el uso de análisis complejos también tiene aplicaciones en campos de la ingeniería comoingeniería nuclear , aeroespacial , mecánica y eléctrica . ^{[ cita requerida ]}

Como una función diferenciable de una variable compleja es igual a su serie de Taylor (es decir, es analítica ), el análisis complejo se ocupa particularmente de las funciones analíticas de una variable compleja (es decir, funciones holomórficas ).

El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas, con raíces en el siglo XVIII y poco antes. Los matemáticos importantes asociados con los números complejos incluyen a Euler , Gauss , Riemann , Cauchy , Weierstrass y muchos más en el siglo XX. El análisis complejo, en particular la teoría de los mapeos conformes , tiene muchas aplicaciones físicas y también se utiliza en toda la teoría analítica de números . En los tiempos modernos, se ha vuelto muy popular a través de un nuevo impulso de la dinámica compleja y las imágenes de fractales producidas por la iteración de funciones holomórficas.. Otra aplicación importante del análisis complejo se encuentra en la teoría de cuerdas, que examina las invariantes conformes en la teoría cuántica de campos .

Una función compleja es una función que va desde números complejos hasta números complejos. En otras palabras, es una función que tiene un subconjunto de números complejos como dominio y los números complejos como codominio . Generalmente se supone que las funciones complejas tienen un dominio que contiene un subconjunto abierto no vacío del plano complejo .

Para cualquier función compleja, los valores del dominio y sus imágenes en el rango pueden separarse en partes reales e imaginarias :${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle f (z)}$

donde todos son de valor real. ${\ Displaystyle x, y, u (x, y), v (x, y)}$

El conjunto de Mandelbrot , un fractal

Una función exponencial A ⁿ de una variable discreta ( entera ) n , similar a la progresión geométrica

Gráfico de rueda de colores de la función f ( x ) = ( x ² - 1) ( x - 2 - i ) ² / x ² + 2 + 2 i .
El tono representa el argumento , el brillo la magnitud.