En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un grupo linealmente ordenado o totalmente ordenado es un grupo G equipado con un orden total "≤" que es invariante en la traducción . Esto puede tener diferentes significados. Decimos que ( G , ≤) es un:
- grupo ordenado por la izquierda si a ≤ b implica c + a ≤ c + b para todo a , b , c en G ,
- grupo ordenado por la derecha si a ≤ b implica a + c ≤ b + c para todo a , b , c en G ,
- grupo bi-ordenado si está ordenado tanto a la izquierda como a la derecha.
Tenga en cuenta que G no necesita ser abeliano , aunque usamos notación aditiva (+) para la operación de grupo.
Definiciones
En analogía con los números ordinarios, que llamamos un elemento c de un grupo ordenado positivo si 0 ≤ c y c ≠ 0, donde "0" aquí denota el elemento de identidad del grupo (no necesariamente el cero familiar de los números reales). El conjunto de elementos positivos en un grupo a menudo se denota con G + . [a]
Los elementos de un grupo ordenado linealmente satisfacen la tricotomía : cada elemento a de un grupo G ordenado linealmente es positivo ( a ∈ G + ), negativo ( −a ∈ G + ) o cero ( a = 0). Si un grupo G ordenado linealmente no es trivial (es decir, 0 no es su único elemento), entonces G + es infinito, ya que todos los múltiplos de un elemento distinto de cero son distintos. [b] Por lo tanto, todo grupo ordenado linealmente no trivial es infinito.
Si a es un elemento de un grupo G ordenado linealmente , entonces el valor absoluto de a , denotado por | a |, se define como:
Si además el grupo G es abeliano , entonces para cualquier a , b ∈ G se satisface la desigualdad del triángulo : | a + b | ≤ | a | + | b |.
Ejemplos de
Cualquier grupo totalmente ordenado está libre de torsión . Por el contrario, FW Levi mostró que un grupo abeliano admite un orden lineal si y solo si está libre de torsión ( Levi 1942 ).
Otto Hölder demostró que cada grupo de Arquímedes (un grupo biordenado que satisface una propiedad de Arquímedes ) es isomorfo a un subgrupo del grupo aditivo de números reales ( Fuchs y Salce 2001 , p. 61). Si escribimos el grupo lo de Arquímedes multiplicativamente, esto se puede mostrar considerando la terminación de Dedekind , del cierre de un grupo bajo bajo th raíces. Dotamos a este espacio con la topología habitual de un orden lineal, y luego se puede demostrar que para cada los mapas exponenciales son isomorfismos de grupos topológicos bien definidos que conservan / invierten el orden . Completar un grupo lo puede ser difícil en el caso no arquimediano. En estos casos, se puede clasificar un grupo por su rango: que está relacionado con el tipo de orden de la secuencia más grande de subgrupos convexos.
Una gran fuente de ejemplos de grupos ordenables por la izquierda proviene de grupos que actúan en la línea real por orden preservando los homeomorfismos . En realidad, para los grupos contables, se sabe que esto es una caracterización de la ordenabilidad por la izquierda, ver por ejemplo ( Ghys 2001 ).
Ver también
Notas
- ^ Tenga en cuenta que + se escribe como un subíndice, para distinguirlo de G +, que incluye el elemento de identidad. Véase, por ejemplo, IsarMathLib , p. 344.
- ^ Formalmente, dado cualquier elemento c distinto de cero(que podemos suponer que es positivo, de lo contrario, tome −c ) y el número natural k tenemos, entonces por inducción, dados dos números naturales k < l , tenemos, Por lo que es una inyección de los números naturales en G .
Referencias
- Levi, FW (1942), "Grupos ordenados", Proc. Indian Acad. Sci. , A16 (4): 256–263, doi : 10.1007 / BF03174799
- Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Módulos sobre dominios no noetherianos , Encuestas y monografías matemáticas, 84 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0, Señor 1794715
- Ghys, É. (2001), "Grupos que actúan en el círculo", L'Enseignement Mathématique , 47 : 329–407