pseudoesfera
Una pseudoesfera de radio R es una superficie que tiene curvatura − 1 / R 2 en cada punto. Su nombre proviene de la analogía con la esfera de radio R , que es una superficie de curvatura 1 / R 2 . El término fue introducido por Eugenio Beltrami en su artículo de 1868 sobre modelos de geometría hiperbólica . [1]
La misma superficie también se puede describir como el resultado de hacer girar una tractriz alrededor de su asíntota . Por esta razón, la pseudoesfera también se llama tractricoide . Como ejemplo, la (media) pseudoesfera (con radio 1) es la superficie de revolución de la tractriz parametrizada por [2]
Es un espacio singular (el ecuador es una singularidad), pero fuera de las singularidades, tiene una curvatura gaussiana negativa constante y por lo tanto es localmente isométrico a un plano hiperbólico .
El nombre "pseudoesfera" surge porque tiene una superficie bidimensional de curvatura gaussiana negativa constante, al igual que una esfera tiene una superficie con curvatura gaussiana positiva constante. Así como la esfera tiene en cada punto una geometría de curvatura positiva de un domo , toda la pseudoesfera tiene en cada punto la geometría de curvatura negativa de una silla de montar .
Ya en 1693, Christiaan Huygens descubrió que el volumen y el área superficial de la pseudoesfera son finitos, [3] a pesar de la extensión infinita de la forma a lo largo del eje de rotación. Para un radio de arista dado R , el área es 4π R 2 al igual que para la esfera, mientras que el volumen es 2 / 3 π R 3 y, por lo tanto, la mitad del de una esfera de ese radio. [4] [5]
La mitad de la pseudoesfera de curvatura −1 está cubierta por la porción del semiplano superior hiperbólico con y ≥ 1 . [6] El mapa de cobertura es periódico en la dirección x de periodo 2 π , y lleva los horociclos y = c a los meridianos de la pseudoesfera y las geodésicas verticales x = c a las tractrices que generan la pseudoesfera. Este mapeo es una isometría local y, por lo tanto, exhibe la porción y ≥ 1 del semiplano superior como el espacio de cobertura universal de la pseudoesfera. El mapeo preciso es
