En la geometría euclidiana , una convexa cuadrilátero con al menos un par de paralelas lados se conoce como un trapecio ( / t r ə p i z i ə m / ) en Inglés fuera de Norteamérica, sino como un trapecio [1] [2 ] ( / t r æ p ə z ɔɪ d / ) en América y el Inglés canadiense . Los lados paralelos se llaman bases.del trapezoide y los otros dos lados se llaman patas o lados laterales (si no son paralelos; de lo contrario, hay dos pares de bases). Un trapezoide escaleno es un trapezoide sin lados de igual medida, [3] en contraste con los casos especiales a continuación.
Trapecio (AmE) Trapecio (BrE) | |
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Tipo | cuadrilátero |
Aristas y vértices | 4 |
Área | |
Propiedades | convexo |
Etimología y trapecio vs trapezoide
El matemático griego Euclides definió cinco tipos de cuadriláteros, de los cuales cuatro tenían dos conjuntos de lados paralelos (conocidos en inglés como cuadrado, rectángulo, rombo y romboide) y el último no tenía dos conjuntos de lados paralelos: un τραπέζια ( trapezia [5 ] literalmente "una mesa", en sí mismo de τετράς ( tetrás ), "cuatro" + πέζα ( péza ), "un pie; final, borde, borde"). [6]
Proclo (412 a 485 d. C.) introdujo dos tipos de trapecios en su comentario sobre el primer libro de los Elementos de Euclides : [4] [7]
- un par de lados paralelos: un trapecio (τραπέζιον), dividido en isósceles (piernas iguales) y trapecios escaleno (desiguales)
- sin lados paralelos - trapezoide (τραπεζοειδή, trapezoeidé , literalmente como un trapecio ( εἶδος significa "se asemeja"), de la misma manera que cuboide significa como un cubo y romboide significa como un rombo )
Todos los idiomas europeos siguen la estructura de Proclus [7] [8] al igual que el inglés hasta finales del siglo XVIII, hasta que un influyente diccionario matemático publicado por Charles Hutton en 1795 apoyó sin explicación una transposición de los términos. Este error se corrigió en inglés británico alrededor de 1875, pero se mantuvo en inglés americano hasta la actualidad. [4]
Tipo | Imagen | Terminología original | Terminología moderna | ||||
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Euclides (Definición 22) | Proclo (Definiciones 30-34, citando a Posidonio) | Definición de Euclides / Proclus | Inglés británico (e idiomas europeos) | inglés americano | |||
Paralelogramo | ῥόμβος (rombos) | equilátero pero no en ángulo recto | Rombo | Trapez oid (incluido) | |||
ῥομβοειδὲς (romboides) | lados y ángulos opuestos iguales entre sí, pero no equiláteros ni en ángulo recto | Romboide (coloquialmente paralelogramo) | |||||
No paralelogramo | τραπέζια (trapecio) | τραπέζιον ἰσοσκελὲς ( trapez ion isoskelés) | Dos lados paralelos y una línea de simetría | Trapez ium | Trapez oid (exclusivo) | ||
τραπέζιον σκαληνὸν ( trapez ion skalinón) | Dos lados paralelos y sin eje de simetría | ||||||
τραπέζοειδὲς ( trapez oides ) | Sin lados paralelos | Trapez oid | Trapez ium |
Este artículo utiliza el término trapezoide en el sentido actual en Estados Unidos y Canadá. La forma a menudo se llama cuadrilátero irregular. [9] [10]
Definición inclusiva vs exclusiva
Existe cierto desacuerdo sobre si los paralelogramos , que tienen dos pares de lados paralelos, deben considerarse trapezoides. Algunos definen un trapezoide como un cuadrilátero que tiene solo un par de lados paralelos (la definición exclusiva), excluyendo así los paralelogramos. [11] Otros [12] definen un trapezoide como un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos (la definición inclusiva [13] ), lo que hace que el paralelogramo sea un tipo especial de trapecio. La última definición es consistente con sus usos en matemáticas superiores como el cálculo . Este artículo usa la definición inclusiva y considera los paralelogramos como casos especiales de un trapezoide. Esto también se defiende en la taxonomía de cuadriláteros .
Según la definición inclusiva, todos los paralelogramos (incluidos rombos , rectángulos y cuadrados ) son trapecios. Los rectángulos tienen simetría de espejo en los bordes medios; los rombos tienen simetría especular en los vértices, mientras que los cuadrados tienen simetría especular tanto en los bordes medios como en los vértices.
Casos especiales
Un trapezoide derecho (también llamado trapezoide de ángulo recto ) tiene dos ángulos rectos adyacentes . [12] Los trapezoides derechos se utilizan en la regla trapezoidal para estimar áreas bajo una curva.
Un trapezoide agudo tiene dos ángulos agudos adyacentes en su borde de base más largo , mientras que un trapezoide obtuso tiene un ángulo agudo y otro obtuso en cada base .
Un trapezoide isósceles es un trapezoide donde los ángulos de la base tienen la misma medida. Como consecuencia, los dos catetos también tienen la misma longitud y tienen simetría de reflexión . Esto es posible para trapezoides agudos o trapezoides rectos (rectángulos).
Un paralelogramo es un trapezoide con dos pares de lados paralelos. Un paralelogramo tiene una simetría rotacional central doble (o simetría de reflexión puntual ). Es posible para trapezoides obtusos o trapezoides rectos (rectángulos).
Un trapezoide tangencial es un trapezoide que tiene un círculo .
Un cuadrilátero de Saccheri es similar a un trapezoide en el plano hiperbólico, con dos ángulos rectos adyacentes, mientras que es un rectángulo en el plano euclidiano. Un cuadrilátero de Lambert en el plano hiperbólico tiene 3 ángulos rectos.
Condición de existencia
Cuatro longitudes a , c , b , d pueden constituir los lados consecutivos de un trapecio sin paralelogramo con a y b paralelos solo cuando [14]
El cuadrilátero es un paralelogramo cuando , pero es un cuadrilátero ex-tangencial (que no es un trapezoide) cuando. [15] : pág. 35
Caracterizaciones
Dado un cuadrilátero convexo, las siguientes propiedades son equivalentes y cada una implica que el cuadrilátero es un trapezoide:
- Tiene dos ángulos adyacentes que son suplementarios , es decir, suman 180 grados .
- El ángulo entre un lado y una diagonal es igual al ángulo entre el lado opuesto y la misma diagonal.
- Las diagonales se cortan mutuamente en la misma proporción (esta proporción es la misma que entre las longitudes de los lados paralelos).
- Las diagonales cortan el cuadrilátero en cuatro triángulos, de los cuales un par opuesto es similar .
- Las diagonales cortan el cuadrilátero en cuatro triángulos, de los cuales un par opuesto tiene áreas iguales. [15] : Prop.5
- El producto de las áreas de los dos triángulos formados por una diagonal es igual al producto de las áreas de los dos triángulos formados por la otra diagonal. [15] : Thm.6
- Las áreas S y T de algunos dos triángulos opuestos de los cuatro triángulos formados por las diagonales satisfacen la ecuación
- donde K es el área del cuadrilátero. [15] : Thm.8
- Los puntos medios de dos lados opuestos y la intersección de las diagonales son colineales . [15] : Thm.15
- Los ángulos en el cuadrilátero ABCD satisfacen[15] : pág. 25
- Los cosenos de dos ángulos adyacentes suman 0, al igual que los cosenos de los otros dos ángulos. [15] : pág. 25
- Las cotangentes de dos ángulos adyacentes suman 0, al igual que las cotangentes de los otros dos ángulos adyacentes. [15] : pág. 26
- Un bimediano divide el cuadrilátero en dos cuadriláteros de áreas iguales. [15] : pág. 26
- El doble de la longitud del bimediano que conecta los puntos medios de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros lados. [15] : pág. 31
Además, las siguientes propiedades son equivalentes, y cada uno implica que los lados opuestos a y b son paralelas:
- Los lados consecutivos a , c , b , d y las diagonales p , q satisfacen la ecuación [15] : Cor.11
- La distancia v entre los puntos medios de las diagonales satisface la ecuación [15] : Teo.12
Segmento medio y altura
El segmento medio (también llamado mediana o línea media) de un trapezoide es el segmento que une los puntos medios de las piernas. Es paralelo a las bases. Su longitud m es igual a la media de las longitudes de las bases a y b del trapecio, [12]
El segmento medio de un trapezoide es uno de los dos bimedianos (el otro bimediano divide el trapezoide en áreas iguales).
La altura (o altitud) es la distancia perpendicular entre las bases. En el caso de que las dos bases tengan diferentes longitudes ( a ≠ b ), la altura de un trapezoide h se puede determinar por la longitud de sus cuatro lados usando la fórmula [12]
donde c y d son las longitudes de las piernas.
Área
El área K de un trapezoide viene dada por [12]
donde un y b son las longitudes de los lados paralelos, h es la altura (la distancia perpendicular entre estos lados), y m es la media aritmética de las longitudes de los dos lados paralelos. En 499 d. C. Aryabhata , un gran matemático - astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias , utilizó este método en el Aryabhatiya (sección 2.8). Esto da como caso especial la conocida fórmula para el área de un triángulo , al considerar un triángulo como un trapecio degenerado en el que uno de los lados paralelos se ha reducido a un punto.
El matemático indio del siglo VII Bhāskara I derivó la siguiente fórmula para el área de un trapezoide con lados consecutivos a , c , b , d :
donde un y b son paralelos y b > una . [16] Esta fórmula se puede factorizar en una versión más simétrica [12]
Cuando uno de los lados paralelos se ha reducido a un punto (digamos a = 0), esta fórmula se reduce a la fórmula de Heron para el área de un triángulo.
Otra fórmula equivalente para el área, que se parece más a la fórmula de Heron, es [12]
dónde es el semiperímetro del trapezoide. (Esta fórmula es similar a la fórmula de Brahmagupta , pero se diferencia de ella en que un trapezoide puede no ser cíclico (inscrito en un círculo). La fórmula también es un caso especial de la fórmula de Bretschneider para un cuadrilátero general ).
De la fórmula de Bretschneider, se sigue que
La línea que une los puntos medios de los lados paralelos biseca el área.
Diagonales
Las longitudes de las diagonales son [12]
donde una es la base corta, b es la base de largo, y c y d son las patas del trapezoide.
Si el trapezoide está dividido en cuatro triángulos por sus diagonales AC y BD (como se muestra a la derecha), intersectando en O , entonces el área de AOD es igual a la de BOC , y el producto de las áreas de AOD y BOC es igual al de AOB y COD . La razón de las áreas de cada par de triángulos adyacentes es la misma que entre las longitudes de los lados paralelos. [12]
Deje que el trapezoide tenga los vértices A , B , C y D en secuencia y los lados paralelos AB y DC . Sea E la intersección de las diagonales, y sea F en el lado DA y G en el lado BC de modo que FEG sea paralelo a AB y CD . Entonces FG es la media armónica de AB y DC : [17]
La línea que pasa por el punto de intersección de los lados extendidos no paralelos y el punto de intersección de las diagonales biseca cada base. [18]
Otras propiedades
El centro de área (centro de masa para una lámina uniforme ) se encuentra a lo largo del segmento de línea que une los puntos medios de los lados paralelos, a una distancia perpendicular x desde el lado más largo b dada por [19]
El centro del área divide este segmento en la relación (cuando se toma del lado corto al largo) [20] : p. 862
Si las bisectrices de los ángulos A y B se intersecan en P , y las bisectrices de los ángulos C y D se intersecan en Q , entonces [18]
Aplicaciones
Arquitectura
En arquitectura, la palabra se usa para referirse a puertas, ventanas y edificios simétricos construidos más anchos en la base, estrechándose hacia la parte superior, en estilo egipcio. Si estos tienen lados rectos y esquinas angulares afiladas, sus formas suelen ser trapezoides isósceles . Este era el estilo estándar para las puertas y ventanas del Inca . [21]
Geometría
El problema de las escaleras cruzadas es el problema de encontrar la distancia entre los lados paralelos de un trapezoide derecho, dadas las longitudes diagonales y la distancia desde el lado perpendicular a la intersección diagonal.
Biología
En morfología , taxonomía y otras disciplinas descriptivo en el que es necesario un término para tales formas, términos tales como trapezoidal o trapezoidal comúnmente son útiles en las descripciones de órganos o formas particulares. [22]
Ingeniería Informática
En la ingeniería informática, específicamente la lógica digital y la arquitectura informática, los trapecios se utilizan normalmente para simbolizar multiplexores . Los multiplexores son elementos lógicos que seleccionan entre múltiples elementos y producen una única salida basada en una señal de selección. Los diseños típicos emplearán trapezoides sin indicar específicamente que son multiplexores, ya que son universalmente equivalentes.
Ver también
- Número cortés , también conocido como número trapezoidal
- Cuña , poliedro definido por dos triángulos y tres caras trapezoidales.
Referencias
- ^ http://www.mathopenref.com/trapezoid.html Definición de Mathopenref
- ^ AD Gardiner y CJ Bradley, Geometría euclidiana plana: teoría y problemas , UKMT, 2005, p. 34.
- ^ Tipos de cuadriláteros
- ↑ a b c James AH Murray (1926). Un nuevo diccionario inglés sobre principios históricos: basado principalmente en los materiales recopilados por la Sociedad Filológica . X . pag. 286 (trapecio).
Con Euclides (c. 300 a. C.) τραπέζιον incluía todas las figuras cuadriláteras excepto el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide; en las variedades de trapecios no entró. Pero Proclo, quien escribió Comentarios sobre el primer libro de los elementos de Euclides AD 450, retuvo el nombre τραπέζιον solo para cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, subdividiéndolos en τραπέζιον ἰσοσκελὲς, trapecio isósceles, que tiene los dos lados no paralelos (y los ángulos en sus bases) iguales, y σκαληνὸν τραπέζιον, trapecio escaleno, en el que estos lados y ángulos son desiguales. Para los cuadriláteros que no tienen lados paralelos, Proclus introdujo el nombre τραπέζοειδὲς TRAPEZOID. Esta nomenclatura se conserva en todas las lenguas continentales, y fue universal en Inglaterra hasta finales del siglo XVIII, cuando se traspuso la aplicación de los términos, de modo que la figura que Proclo y los geómetras modernos de otras naciones llaman específicamente trapecio (F. trapèze, Ger. trapez, Du. trapezium, It. trapezio) se convirtió con la mayoría de los escritores ingleses en un trapezoide, y el trapezoide de Proclo y otras naciones en un trapecio. Este sentido cambiado de trapezoide se da en el Diccionario matemático de Hutton, 1795, como se usa "a veces": no dice quién; pero desafortunadamente él mismo lo adoptó y usó, y su Diccionario fue sin duda el agente principal en su difusión. Sin embargo, algunos geómetras continuaron usando los términos en su sentido original, y desde c 1875 este es el uso predominante.
- ↑ Euclid Elements Book I Definición 22
- ^ Πέζα se dice que es el dórico y forma Arcadic de πούς "pie", pero registra sólo en el sentido de "empeine [de un pie humano]", de donde el "borde, frontera" significado. τράπεζα "table" es homérico. Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, A Greek-English Lexicon , Oxford, Clarendon Press (1940), sv πέζα , τράπεζα .
- ^ a b Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (5 de abril de 2016). Las simetrías de las cosas . Prensa CRC. pag. 286. ISBN 978-1-4398-6489-0.
- ^ Por ejemplo: trapèze francés, trapezio italiano, trapézio portugués, trapecio español, trapez alemán, "трапеція" ucraniano, p. Ej. "Definición de Larousse para trapézoïde" .
- ^ Cámaras del siglo XXI diccionario trapezoide
- ^ "Definición americana de 1913 de trapecio" . Diccionario en línea Merriam-Webster . Consultado el 10 de diciembre de 2007 .
- ^ "Definición de escuela americana de" math.com " " . Consultado el 14 de abril de 2008 .
- ^ a b c d e f g h yo Weisstein, Eric W. "Trapezoide" . MathWorld .
- ^ Trapezoides, [1] . Consultado el 24 de febrero de 2012.
- ^ Pregúntele al Dr. Math (2008), "Área del trapezoide dadas solo las longitudes laterales" .
- ↑ a b c d e f g h i j k l Martin Josefsson, "Caracterizaciones de trapecios" , Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35.
- ^ TK Puttaswamy, Logros matemáticos de los matemáticos indios premodernos , Elsevier, 2012, p. 156.
- ^ GoGeometry , [2] . Consultado el 8 de julio de 2012.
- ^ a b Owen Byer, Felix Lazebnik y Deirdre Smeltzer, Métodos para la geometría euclidiana , Asociación Matemática de América, 2010, p. 55.
- ↑ efunda , Trapezoide general, [3] . Consultado el 9 de julio de 2012.
- ^ Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian (diciembre de 2004). "Figuras circunscribiendo círculos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 111 (10): 853–863. doi : 10.2307 / 4145094 . JSTOR 4145094 . Consultado el 6 de abril de 2016 .
- ^ "Machu Picchu Ciudad Perdida de los Incas - Geometría Inca" . gogeometry.com . Consultado el 13 de febrero de 2018 .
- ^ John L. Capinera (11 de agosto de 2008). Enciclopedia de entomología . Springer Science & Business Media. págs. 386, 1062, 1247. ISBN 978-1-4020-6242-1.
Otras lecturas
- D. Fraivert, A. Sigler y M. Stupel: propiedades comunes de trapezoides y cuadriláteros convexos
enlaces externos
- Trapezium en Encyclopedia of Mathematics .
- Weisstein, Eric W. "Trapezoide derecho" . MathWorld .
- Definición de trapezoide Área de un trapezoide Mediana de un trapezoide Con animaciones interactivas
- Trapezoide (Norteamérica) en elsy.at: curso animado (construcción, circunferencia, área)
- Regla trapezoidal sobre métodos numéricos para pregrado de Stem
- Autar Kaw y E. Eric Kalu, Métodos numéricos con aplicaciones , (2008)