En geometría , un triacontadigon (o triacontakaidigon ) o 32-gon es un polígono de treinta y dos lados. En griego, el prefijo triaconta- significa 30 y di- significa 2. La suma de los ángulos interiores de cualquier triacontadigon es 5400 grados.
Triacontadigon regular | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 32 |
Símbolo de Schläfli | {32}, t {16}, tt {8}, ttt {4} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diedro (D 32 ), orden 2 × 32 |
Ángulo interno ( grados ) | 168,75 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Un nombre más antiguo es tricontadoagon . [1] Otro nombre es icosidodecágono , que sugiere un (20 y 12) -gon, en paralelo al icosidodecaedro de 32 caras , que tiene 20 triángulos y 12 pentágonos. [2]
Triacontadigon regular
El triacontadigón regular se puede construir como un hexadecágono truncado , t {16}, un octágono truncado dos veces , tt {8} y un cuadrado truncado tres veces . Un triacontadigon truncado, t {32}, es un hexacontatetragon , {64}.
Un ángulo interior en un triacontadigón regular es 168 3 ⁄ 4 °, lo que significa que un ángulo exterior sería 11 1 ⁄ 4 °.
El área de un triacontadigón regular es (con t = longitud del borde )
y su radio interno es
El circunradio de un triacontadigon regular es
Construcción
Como 32 = 2 5 (una potencia de dos ), el triacontadigón regular es un polígono construible . Puede construirse mediante una bisección de borde de un hexadecágono regular . [3]
Simetría
Las simetrías de un triacontadigón regular. Las líneas de reflejos son azules a través de los vértices y violetas a través de los bordes. Los giros se dan como números en el centro. Los vértices están coloreados por sus posiciones de simetría. |
El triacontadigón regular tiene simetría diédrica Dih 32 , orden 64, representada por 32 líneas de reflexión. Dih 32 tiene 5 subgrupos diedros: Dih 16 , Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 y Dih 1 y 6 simetrías cíclicas más : Z 32 , Z 16 , Z 8 , Z 4 , Z 2 y Z 1 , con Z n representando Simetría rotacional π / n radianes.
En el triacontadigón regular, hay 17 simetrías distintas. John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. [4] Da r64 para la simetría reflectante completa, Dih 16 y a1 para la ausencia de simetría. Da d (diagonal) con líneas de espejo a través de vértices, p con líneas de espejo a través de bordes (perpendiculares), i con líneas de espejo a través de vértices y bordes, y g para simetría rotacional. a1 etiqueta sin simetría.
Estas simetrías más bajas permiten grados de libertad para definir triacontadigones irregulares. Solo el subgrupo g32 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Disección
regular | Isotoxal |
Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. [5] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el triacontadigón regular , m = 16, y se puede dividir en 120: 8 cuadrados y 7 conjuntos de 16 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección poligonal de Petrie de un cubo de 16 .
Triacontadigrama
Un triacontadigrama es un polígono estelar de 32 lados . Hay siete formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli {32/3}, {32/5}, {32/7}, {32/9}, {32/11}, {32/13} y {32/15 }, y ocho figuras de estrellas compuestas con la misma configuración de vértice .
Polígonos en estrella regulares {32 / k} | |||||||
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Imagen | {32/3} | {32/5} | {32/7} | {32/9} | {32/11} | {32/13} | {32/15} |
Angulo interior | 146,25 ° | 123,75 ° | 101,25 ° | 78,75 ° | 56,25 ° | 33,75 ° | 11,25 ° |
Muchos triacontadigramas isogonales también se pueden construir como truncamientos más profundos del hexadecágono {16} y los hexadecagramas {16/3}, {16/5} y {16/7} regulares. Estos también crean cuatro cuasitruncaciones: t {16/9} = {32/9}, t {16/11} = {32/11}, t {16/13} = {32/13} y t {16 / 15} = {32/15}. Algunos de los triacontadigramas isogonales se muestran a continuación como parte de las secuencias de truncamiento mencionadas anteriormente. [6]
triacontadigramas isogonales | ||||||||
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t {16} = {32} | t {16/15} = {32/15} | |||||||
t {16/3} = {32/3} | t {16/13} = {32/13} | |||||||
t {16/5} = {32/5} | t {16/11} = {32/11} | |||||||
t {16/7} = {32/7} | t {16/9} = {32/9} |
Referencias
- ^ Un libro de soluciones matemáticas que contiene soluciones sistemáticas para muchos de los problemas más difíciles por Benjamin Franklin Finkel
- ^ Weisstein, Eric W. "Icosidodecagon" . MathWorld .
- ^ Polígono construible
- ^ John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275-278)
- ^ Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141
- ^ El lado más ligero de las matemáticas: Actas de la conferencia conmemorativa de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia, (1994), Metamorfosis de polígonos , Branko Grünbaum
- Nombrar polígonos y poliedros
- Enciclopedia Concisa de Matemáticas CRC, Segunda Edición, Eric W. Weisstein icosidodecágono