En geometría , un hexacontatetragon (o hexacontakaitetragon ) o 64-gon es un polígono de sesenta y cuatro lados . (En griego, el prefijo hexaconta- significa 60 y tetra- significa 4.) La suma de los ángulos interiores de cualquier hexacontatetragon es 11160 grados.
Hexacontatetragon regular | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 64 |
Símbolo de Schläfli | {64}, t {32}, tt {16}, ttt {8}, tttt {4} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diedro (D 64 ), orden 2 × 64 |
Ángulo interno ( grados ) | 174,375 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Hexacontatetragon regular
El hexacontatetragon regular se puede construir como un triacontadigon truncado , t {32}, un hexadecágono truncado dos veces , tt {16}, un octágono truncado tres veces , ttt {8}, un cuadrado truncado cuádruple , tttt {4}, y un digón truncado cinco veces , ttttt {2}.
Un ángulo interior en un tragón hexacontato regular es 174 3 ⁄ 8 °, lo que significa que un ángulo exterior sería 5 5 ⁄ 8 °.
El área de un hexacontatetragon regular es (con t = longitud del borde )
y su radio interno es
El radio de circunferencia de un hexacontatetragon regular es
Construcción
Dado que 64 = 2 6 (una potencia de dos ), se puede construir un hexacontatetragon regular usando un compás y una regla . [1] Como triacontadigón truncado , se puede construir mediante una bisección de borde de un triacontadigón regular.
Simetría
El hexacontatetragon regular tiene simetría diédrica Dih 64 , orden 128, representada por 64 líneas de reflexión. Dih 64 tiene 6 subgrupos diedros: Dih 32 , Dih 16 , Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 y Dih 1 y 7 simetrías cíclicas más : Z 64 , Z 32 , Z 16 , Z 8 , Z 4 , Z 2 y Z 1 , donde Z n representa una simetría rotacional π / n radianes.
Estas 13 simetrías generan 20 simetrías únicas en el hexacontatetragon regular. John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. [2] Da r128 para la simetría reflectante completa, Dih 64 y a1 para la ausencia de simetría. Da d (diagonal) con líneas de espejo a través de vértices, p con líneas de espejo a través de aristas (perpendiculares), i con líneas de espejo a través de vértices y aristas, y g para simetría rotacional. a1 etiqueta sin simetría.
Estas simetrías más bajas permiten grados de libertad para definir hexacontactotragones irregulares. Solo el subgrupo g64 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Disección
Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m −1) / 2 paralelogramos. [3] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformemente, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el hexacontatetragon regular , m = 32, y se puede dividir en 496: 16 cuadrados y 15 conjuntos de 32 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección poligonal de Petrie de un cubo de 32 .
Hexacontatetragrama
Un hexacontatetragram es un polígono estelar de 64 lados . Hay 15 formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli {64/3}, {64/5}, {64/7}, {64/9}, {64/11}, {64/13}, {64/15} , {64/17}, {64/19}, {64/21}, {64/23}, {64/25}, {64/27}, {64/29}, {64/31}, como así como 16 figuras de estrellas compuestas con la misma configuración de vértice .
Imagen | {64/3} | {64/5} | {64/7} | {64/9} | {64/11} | {64/13} | {64/15} | {64/17} |
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Angulo interior | 163,125 ° | 151,875 ° | 140,625 ° | 129,375 ° | 118,125 ° | 106,875 ° | 95,625 ° | 84,375 ° |
Imagen | {64/19} | {64/21} | {64/23} | {64/25} | {64/27} | {64/29} | {64/31} | |
Angulo interior | 73,125 ° | 61,875 ° | 50,625 ° | 39,375 ° | 28,125 ° | 16.875 ° | 5.625 ° |
Referencias
- ^ Polígono construible
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275- 278)
- ^ Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141
- Nombrar polígonos y poliedros