En geometría , un triacontatetragon o triacontakaitetragon es un polígono de treinta y cuatro lados o 34-gon. [1] La suma de los ángulos interiores de cualquier triacontatetragon es 5760 grados.
Triacontatetragon regular | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 34 |
Símbolo de Schläfli | {34}, t {17} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diedro (D 34 ), orden 2 × 34 |
Ángulo interno ( grados ) | 169.412 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Triacontatetragon regular
Un triacontatetragon regular está representado por el símbolo de Schläfli {34} y también se puede construir como un 17-gon truncado , t {17}, que alterna dos tipos de aristas.
Un ángulo interior en un triacontatetragon regular es (2880/17) °, lo que significa que un ángulo exterior sería (180/17) °.
El área de un triacontatetragon regular es (con t = longitud del borde )
y su radio interno es
El factor es una raíz de la ecuación .
El circunradio de un triacontatetragon regular es
Como 34 = 2 × 17 y 17 es un número primo de Fermat , se puede construir un triacontatetragon regular usando un compás y una regla . [2] [3] [4] Como un 17-gon truncado , se puede construir mediante una bisección de borde de un 17-gon regular. Esto significa que los valores de y puede expresarse en términos de radicales anidados.
Simetría
El triacontatetragon regular tiene simetría Dih 34 , orden 68. Hay 3 simetrías diedras de subgrupos: Dih 17 , Dih 2 y Dih 1 , y 4 simetrías de grupos cíclicos : Z 34 , Z 17 , Z 2 y Z 1 .
Estas 8 simetrías se pueden ver en 10 simetrías distintas en el icosidigon, un número mayor porque las líneas de reflejos pueden atravesar vértices o bordes. John Conway los etiqueta por carta y orden de grupo. [5] La simetría completa de la forma regular está etiquetada como r68 y ninguna simetría está etiquetada como a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( d para diagonales) o bordes ( p para perpendiculares), yi cuando las líneas de reflexión atraviesan ambos bordes y vértices. Las simetrías cíclicas n se etiquetan como g para sus órdenes de giro central.
La simetría de cada subgrupo permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g34 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Los triacontatetragon irregulares de mayor simetría son d34 , un triacontatetragon isogonal construido por diecisiete espejos que pueden alternar bordes largos y cortos, y p34 , un triacontatetragon isotoxal , construido con longitudes de borde iguales, pero vértices alternando dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del triacontatetragon regular.
Disección
Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. [6] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el triacontatetragon regular , m = 17, se puede dividir en 136: 8 conjuntos de 17 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección poligonal de Petrie de un cubo de 17 .
Triacontatetragram
Un triacontatetragram es un polígono estelar de 34 lados . Hay siete formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli {34/3}, {34/5}, {34/7}, {34/9}, {34/11}, {34/13} y {34/15 }, y nueve figuras de estrellas compuestas con la misma configuración de vértice .
{34/3} | {34/5} | {34/7} | {34/9} | {34/11} | {34/13} | {34/15} |
Muchos triacontatetragramas isogonales también se pueden construir como truncamientos más profundos del heptadecágono {17} y heptadecagramas {17/2}, {17/3}, {17/4}, {17/5}, {17/6}, { 17/7} y {17/8}. Estos también crean ocho cuasitruncaciones: t {17/9} = {34/9}, t {17/10} = {34/10}, t {17/11} = {34/11}, t {17/12 } = {34/12}, t {17/13} = {34/13}, t {17/14} = {34/14}, t {17/15} = {34/15} y t { 17/16} = {34/16}. Algunos de los triacontatetragramas isogonales se muestran a continuación, como una secuencia de truncamiento con puntos finales t {17} = {34} y t {17/16} = {34/16}. [7]
t {17} = {34} | t {17/16} = {34/16} | ||||||||
t {17/3} = {34/3} | t {17/14} = {34/14} | ||||||||
t {17/5} = {34/5} | t {17/12} = {34/12} | t {17/12} = {34/12} | |||||||
t {17/7} = {34/7} | t {17/10} = {34/5} | ||||||||
t {17/9} = {34/9} | t {17/8} = {34/8} |
Referencias
- ^ "Pregunte al Dr. Math: nombrar polígonos y poliedros" . mathforum.org . Consultado el 5 de septiembre de 2017 .
- ^ W., Weisstein, Eric. "Polígono construible" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 1 de septiembre de 2017 .
- ^ Chepmell, CH (1 de marzo de 1913). "Una construcción del polígono regular de 34 lados" (PDF) . Mathematische Annalen . 74 (1): 150-151. doi : 10.1007 / bf01455349 . ISSN 0025-5831 .
- ^ Blanco, Charles Edgar (1913). Teoría de casos irreductibles de ecuaciones y sus aplicaciones en álgebra, geometría y trigonometría . pag. 79.
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275-278)
- ^ Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141
- ^ El lado más ligero de las matemáticas: Actas de la conferencia conmemorativa de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia, (1994), Metamorfosis de polígonos , Branko Grünbaum