En geometría , la disphenoid chata , dodecaedro siamés , dodecaedro triangular , trigonal dodecaedro , o dodecadeltahedron es un tridimensional poliedro convexo con doce triángulos equiláteros como sus caras . No es un poliedro regular porque algunos vértices tienen cuatro caras y otros cinco. Es un dodecaedro , uno de los ocho deltaedros (poliedros convexos con caras de triángulos equiláteros) y uno de los 92 sólidos de Johnson (no uniformespoliedros convexos con caras regulares). Se puede pensar en un antiprisma cuadrado donde ambos cuadrados se reemplazan con dos triángulos equiláteros.
Disfenoides desaire | |
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Tipo | Johnson J 83 - J 84 - J 85 |
Caras | 4 + 8 triángulos |
Bordes | 18 |
Vértices | 8 |
Configuración de vértice | 4 (3 4 ) 4 (3 5 ) |
Grupo de simetría | D 2d |
Poliedro doble | Gyrobifastigium alargado |
Propiedades | convexo , deltaedro |
Neto | |
El difenoide chato es también la figura del vértice del prisma isogonal de 13-5 pasos, un policoron construido a partir de un duoprisma 13-13 seleccionando un vértice en un tridecágono , luego seleccionando el quinto vértice en el siguiente tridecágono, haciéndolo hasta llegar al original. tridecágono. Sin embargo, no se puede uniformar porque el difenoides chato no tiene un círculo circunscrito .
Historia y naming
Esta forma se denominó dodecaedro siamés en el artículo de Hans Freudenthal y BL van der Waerden (1947), que describió por primera vez el conjunto de ocho deltaedros convexos . [1] El nombre dodecadeltaedro fue dado a la misma forma por Bernal (1964) , refiriéndose al hecho de que es un deltaedro de 12 lados. Existen otros dodecaedros simpliciales , como la bipirámide hexagonal , pero esta es la única que se puede realizar con caras equiláteras. Bernal estaba interesado en las formas de los agujeros dejados en arreglos irregulares de esferas compactas, por lo que utilizó una definición restrictiva de deltaedro, en la que un deltaedro es un poliedro convexo con caras triangulares que pueden estar formadas por los centros de una colección de esferas congruentes. esferas, cuyas tangencias representan bordes de poliedro, y de tal manera que no hay espacio para empaquetar otra esfera dentro de la jaula creada por este sistema de esferas. Esta definición restrictiva no permite la bipirámide triangular (que forma dos orificios tetraédricos en lugar de un solo orificio), la bipirámide pentagonal (porque las esferas de sus vértices se interpenetran, por lo que no puede ocurrir en empaquetaduras de esferas) y el icosaedro (porque tiene espacio interior para otro esfera). Bernal escribe que el difenoide chato es "una coordinación muy común para el ion calcio en cristalografía ". [2] En geometría de coordinación, generalmente se conoce como dodecaedro trigonal o simplemente como dodecaedro.
El nombre difenoide chato proviene de la clasificación de los sólidos de Johnson de 1966 de Norman Johnson , poliedros convexos cuyas caras son todas regulares. [3] Existe primero en una serie de poliedros con simetría axial, por lo que también se le puede dar el nombre de gyrobianticupola digonal .
Propiedades
El disenoide desaire está conectado en 4 , lo que significa que se necesitan cuatro vértices para desconectar los vértices restantes. Es uno de los cuatro poliedros simpliciales bien cubiertos de 4 conectados , lo que significa que todos los conjuntos máximos independientes de sus vértices tienen el mismo tamaño. Los otros tres poliedros con esta propiedad son el octaedro regular , la bipirámide pentagonal y un poliedro irregular con 12 vértices y 20 caras triangulares. [4]
El difenoide chato tiene las mismas simetrías que un difenoide tetragonal : tiene un eje de simetría rotacional de 180 ° a través de los puntos medios de sus dos bordes opuestos, dos planos perpendiculares de simetría de reflexión a través de este eje y cuatro operaciones de simetría adicionales dadas por una reflexión perpendicular al eje seguido de un cuarto de vuelta y posiblemente otra reflexión paralela al eje. [5] Es decir, tiene D 2 d simetría antipismática , un grupo de simetría de orden 8.
Las esferas centradas en los vértices del difenoide chato forman un grupo que, según experimentos numéricos, tiene el mínimo potencial de Lennard-Jones posible entre todos los grupos de ocho esferas. [6]
Hasta simetrías y traslación paralela, el difenoide chato tiene cinco tipos de geodésicas cerradas simples (no autocruzadas) . Estos son caminos en la superficie del poliedro que evitan los vértices y localmente parecen un camino más corto: siguen segmentos de línea recta a través de cada cara del poliedro que se cruzan, y cuando cruzan un borde del poliedro forman ángulos complementarios en las dos caras incidentes hasta el borde. Intuitivamente, uno podría estirar una banda elástica alrededor del poliedro a lo largo de este camino y permanecería en su lugar: no hay forma de cambiar localmente el camino y acortarlo. Por ejemplo, un tipo de geodésico cruza los dos bordes opuestos del difenoide chato en sus puntos medios (donde el eje de simetría sale del politopo) en un ángulo de π / 3. Un segundo tipo de geodésica pasa cerca de la intersección del difenoide chato con el plano que biseca perpendicularmente el eje de simetría (el ecuador del poliedro), cruzando los bordes de ocho triángulos en ángulos que alternan entre π / 2 y π / 6. El desplazamiento de una geodésica en la superficie del poliedro en una pequeña cantidad (lo suficientemente pequeña como para que el desplazamiento no haga que cruce ningún vértice) conserva la propiedad de ser una geodésica y conserva su longitud, por lo que ambos ejemplos han cambiado versiones de la mismo tipo que están colocados menos simétricamente. Las longitudes de las cinco geodésicas cerradas simples en un difenoide chato con bordes de longitud unitaria son
- (para la geodésica ecuatorial), , (para la geodésica a través de los puntos medios de los bordes opuestos), , y .
A excepción del tetraedro, que tiene infinitos tipos de geodésicas cerradas simples, el difenoide chato tiene la mayoría de los tipos de geodésicas de cualquier deltaedro. [7]
Construcción
El disphenoid chata se construye, como su nombre sugiere, como la chata poliedro formado a partir de un disphenoid tetragonal , una forma menor simetría de un habitual tetraedro .
Disfenoide | Disfenoides desaire |
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La operación de desaire produce una única banda cíclica de triángulos que separan dos bordes opuestos (rojo en la figura) y sus triángulos adyacentes. Los antiprismas de desaire son análogos al tener una sola banda cíclica de triángulos, pero en los antiprismas de desaire estas bandas separan dos caras opuestas y sus triángulos adyacentes en lugar de dos bordes opuestos.
El difenoide chato también se puede construir a partir del antiprisma cuadrado reemplazando las dos caras cuadradas por pares de triángulos equiláteros. Sin embargo, es uno de los sólidos elementales de Johnson que no surgen de manipulaciones de "cortar y pegar" de los sólidos platónicos y de Arquímedes .
Se puede formar un modelo físico del esfenoides chato doblando una red formada por 12 triángulos equiláteros (un 12-diamante ), como se muestra. Una red alternativa sugerida por John Montroll tiene menos vértices cóncavos en su límite, lo que la hace más conveniente para la construcción de origami . [8]
Coordenadas cartesianas
Dejar ser la raíz real positiva del polinomio cúbico
Además, deja
y
A los ocho vértices del difenoide chato se les pueden dar coordenadas cartesianas.
- [6]
Debido a que esta construcción implica la solución de una ecuación cúbica, el difenoide chato no se puede construir con un compás y una regla , a diferencia de los otros siete deltaedros. [9]
Con estas coordenadas, es posible calcular el volumen de un difenoide chato con una longitud de borde a como, dónde , es la raíz positiva del polinomio
- [10]
Poliedros relacionados
Otra construcción del difenoide chato es como una gyrobianticupola digonal . Tiene la misma topología y simetría, pero sin triángulos equiláteros. Tiene 4 vértices en un cuadrado en un plano central como dos anticupolae unidos con simetría rotacional. Su doble tiene pentágonos en ángulo recto y puede auto-teselar el espacio.
Anticúpola digonal | Gyrobianticupola digital | Gyrobifastigium alargado (dual) | Teselación parcial |
Referencias
- ^ Freudenthal, H .; van d. Waerden, BL (1947), "Sobre una afirmación de Euclides", Simon Stevin , 25 : 115-121, MR 0021687.
- ^ Bernal, JD (1964), "The Bakerian Lecture, 1962. The Structure of Liquids", Proceedings of the Royal Society of London , Series A, Mathematical and Physical Sciences, 280 (1382): 299–322, JSTOR 2415872.
- ^ Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169-200, doi : 10.4153 / cjm-1966-021-8 , MR 0185507 , Zbl 0132.14603.
- ^ Finbow, Arthur S .; Hartnell, Bert L .; Nowakowski, Richard J .; Plummer, Michael D. (2010), "Sobre triangulaciones bien cubiertas. III", Matemáticas aplicadas discretas , 158 (8): 894–912, doi : 10.1016 / j.dam.2009.08.002 , MR 2602814.
- ^ Cundy, H. Martyn (1952), "Deltahedra", The Mathematical Gazette , 36 : 263-266, doi : 10.2307 / 3608204 , MR 0051525.
- ^ a b Sloane, NJA ; Hardin, RH; Duff, TDS; Conway, JH (1995), "Clústeres de esferas duras de energía mínima", Geometría discreta y computacional , 14 (3): 237–259, doi : 10.1007 / BF02570704 , MR 1344734.
- ^ Lawson, Kyle A .; Parroquia, James L .; Traub, Cynthia M .; Weyhaupt, Adam G. (2013), "Colorear gráficos para clasificar geodésicas cerradas simples en deltaedros convexos". (PDF) , Revista Internacional de Matemáticas Puras y Aplicadas , 89 (2): 123–139, doi : 10.12732 / ijpam.v89i2.1 , Zbl 1286.05048.
- ^ Montroll, John (2004), "Dodecadeltahedron" , A Constellation of Origami Polyhedra , Serie Dover Origami Papercraft, Dover Publications, Inc., págs. 38–40, ISBN 9780486439587.
- ^ Hartshorne, Robin (2000), Geometría: Euclides y más allá , Textos de pregrado en matemáticas, Springer-Verlag, p. 457, ISBN 9780387986500.
- ^ Wolfram Research, Inc. (2020). "Wolfram | Base de conocimientos Alpha". Champaign, IL.
MinimalPolynomial [PolyhedronData [{"Johnson", 84}, "Volume"], x]
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( ayuda )
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Disfenoide desagradable" . MathWorld .