En matemáticas, la teoría K retorcida (también llamada teoría K con coeficientes locales [1] ) es una variación de la teoría K , una teoría matemática de la década de 1950 que abarca la topología algebraica , el álgebra abstracta y la teoría de operadores .
Más específicamente, la teoría K retorcida con giro H es una variante particular de la teoría K, en la que el giro viene dado por una clase de cohomología tridimensional integral . Es especial entre los diversos giros que admite la teoría K por dos razones. Primero, admite una formulación geométrica. Esto se proporcionó en dos pasos; el primero fue realizado en 1970 (Publ. Math. de l ' IHÉS ) por Peter Donovan y Max Karoubi; el segundo en 1988 por Jonathan Rosenberg en Álgebras de seguimiento continuo desde el punto de vista teórico del paquete .
En física, se ha conjeturado clasificar las D-branas , las intensidades de campo de Ramond-Ramond y, en algunos casos, incluso los espinores en la teoría de cuerdas de tipo II . Para obtener más información sobre la teoría K retorcida en la teoría de cuerdas , consulte Teoría K (física) .
En el contexto más amplio de la teoría K, en cada materia tiene numerosas formulaciones isomorfas y, en muchos casos, se han probado isomorfismos que relacionan definiciones en diversas materias. También tiene numerosas deformaciones, por ejemplo, en álgebra abstracta, la teoría K puede ser torcida por cualquier clase de cohomología integral.
La definición
Para motivar la formulación geométrica de Rosenberg de la teoría K retorcida, comience con el teorema de Atiyah-Jänich , afirmando que
los operadores de Fredholm en el espacio Hilbert , es un espacio de clasificación para la teoría K ordinaria y no retorcida. Esto significa que la teoría K del espacioconsta de las clases de homotopía de mapas
de a
Una forma un poco más complicada de decir lo mismo es la siguiente. Considere el paquete trivial de encima , es decir, el producto cartesiano de y . Entonces la teoría K de consta de las clases de homotopía de secciones de este paquete.
Podemos hacer esto aún más complicado introduciendo un trivial
manojo encima , dónde es el grupo de operadores unitarios proyectivos en el espacio de Hilbert. Entonces el grupo de mapas
de a que son equivariantes bajo una acción de es equivalente a los grupos originales de mapas
Esta construcción más complicada de la teoría K ordinaria se generaliza naturalmente al caso retorcido. Para ver esto, tenga en cuenta que paquetes en están clasificados por elementos del tercer grupo de cohomología integral de. Esta es una consecuencia del hecho de quetopológicamente es un espacio representativo de Eilenberg-MacLane
- .
Entonces, la generalización es sencilla. Rosenberg ha definido
- ,
la retorcida teoría K de con giro dado por la clase 3 , ser el espacio de clases de homotopía de secciones de lo trivial paquete sobre que son covariantes con respecto a un manojo fibrado sobre con 3 clases , es decir
De manera equivalente, es el espacio de clases de homotopía de secciones de la paquetes asociados a un paquete con clase .
¿Qué es?
Cuándo es la clase trivial, la teoría K retorcida es simplemente la teoría K desenroscada, que es un anillo. Sin embargo cuandoNo es trivial esta teoría ya no es un anillo. Tiene una adición, pero ya no se cierra con la multiplicación.
Sin embargo, la suma directa de las retorcidas teorías K de con todos los giros posibles es un anillo. En particular, el producto de un elemento de la teoría K con giro con un elemento de la teoría K con giro es un elemento de la teoría K torcido por . Este elemento se puede construir directamente a partir de la definición anterior mediante el uso de adjuntos de operadores de Fredholm y construir una matriz específica de 2 x 2 a partir de ellos (consulte la referencia 1, donde también se presenta una versión de grado Z / 2 más natural y general). En particular, la teoría K retorcida es un módulo sobre la teoría K clásica.
Como calcularlo
Los físicos normalmente quieren calcular la teoría K retorcida utilizando la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch . [2] La idea es que uno comienza con todas las cohomologías integrales pares o impares, dependiendo de si se desea calcular el retorcido o el retorcido , y luego se toma la cohomología con respecto a una serie de operadores diferenciales. El primer operador,, por ejemplo, es la suma de las tres clases , que en teoría de cuerdas corresponde a la forma 3 de Neveu-Schwarz, y el tercer cuadrado de Steenrod , [3] entonces
Sin formulario elemental para el próximo operador, , se ha encontrado, aunque existen varias formas conjeturadas. Los operadores superiores no contribuyen a la-teoría de una variedad de 10, que es la dimensión de interés en la teoría crítica de supercuerdas . Sobre los racionales, Michael Atiyah y Graeme Segal han demostrado que todos los diferenciales se reducen a productos Massey de. [4]
Después de tomar la cohomología con respecto a la serie completa de diferenciales, se obtiene retorcido -teoría como un conjunto, pero para obtener la estructura completa del grupo, uno en general necesita resolver un problema de extensión .
Ejemplo: las tres esferas
Las tres esferas , tiene cohomología trivial excepto por y que son ambos isomorfos a los enteros. Por tanto, las cohomologías pares e impares son ambas isomórficas a los números enteros. Debido a que la tres-esfera es de dimensión tres, que es menor que cinco, el tercer cuadrado de Steenrod es trivial en su cohomología y, por lo tanto, el primer diferencial no trivial es simplemente. Las últimas diferencias aumentan el grado de una clase de cohomología en más de tres y, por lo tanto, son nuevamente triviales; así el retorcido-la teoría es solo la cohomología del operador que actúa sobre una clase poniéndola en contacto con la clase 3 .
Imagina eso es la clase trivial, cero. Luegotambién es trivial. Por tanto, todo su dominio es su núcleo y nada está a su imagen. Por lo tanto es el núcleo de en la cohomología par, que es la cohomología par completa, que consta de los números enteros. similar consiste en la extraña cohomología co-orientada por la imagen de , en otras palabras, coorientado por el grupo trivial. Esto deja la cohomología impar original, que nuevamente son los números enteros. En conclusión, y de las tres esferas con giro trivial son ambos isomorfos a los enteros. Como era de esperar, esto concuerda con el desenrollado-teoría.
Ahora considere el caso en el que no es trivial. se define como un elemento de la tercera cohomología integral, que es isomorfa a los números enteros. Por lo tanto corresponde a un número, al que llamaremos . ahora toma un elemento de y produce el elemento de . Como no es igual a cero por supuesto, el único elemento del núcleo de es el elemento cero, por lo que . La imagen de consta de todos los elementos de los números enteros que son múltiplos de . Por tanto, la extraña cohomología,, coorientado por la imagen de , , es el grupo cíclico de orden , . En conclusión
En la teoría de cuerdas, este resultado reproduce la clasificación de D-branas en la 3-esfera con unidades de -flujo, que corresponde al conjunto de condiciones de contorno simétricas en el supersimétrico Modelo WZW a nivel.
Hay una extensión de este cálculo a la variedad de grupo de SU (3) . [5] En este caso, el término cuadrado de Steenrod en, el operador y el problema de la extensión no son triviales.
Ver también
Notas
- ^ Donavan, Peter; Karoubi, Max (1970). "Grupos de Brauer graduados y $ K $ -teoría con coeficientes locales" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 38 : 5–25.
- ↑ Una guía para tales cálculos en el caso de la teoría K retorcida se puede encontrar en Teoría del calibre E8, y una derivación de la teoría K a partir de la teoría M por Emanuel Diaconescu , Gregory Moore y Edward Witten (DMW).
- ^ (DMW) también proporciona un curso intensivo sobre cuadrados Steenrod para físicos.
- ^ En Teoría K retorcida y cohomología .
- ^ En D-Brane Instantons y K-Theory Charges por Juan Maldacena , Gregory Moore y Nathan Seiberg .
Referencias
- "Grupos de Brauer graduados y teoría K con coeficientes locales", por Peter Donovan y Max Karoubi. Publ. Matemáticas. IHÉS Nr. 38, págs. 5-25 (1970).
- Instantons D-Brane y cargas de K-Theory por Juan Maldacena , Gregory Moore y Nathan Seiberg
- Teoría K retorcida y cohomología por Michael Atiyah y Graeme Segal
- Teoría K retorcida y la teoría K de Bundle Gerbes por Peter Bouwknegt , Alan Carey , Varghese Mathai , Michael Murray y Danny Stevenson .
- Teoría K retorcida, vieja y nueva
enlaces externos
- Strings 2002, conferencia de Michael Atiyah, "Teoría K retorcida y física"
- El álgebra de Verlinde es la teoría K equivariante retorcida (PDF)
- Riemann-Roch y fórmulas de índice en la teoría K retorcida (PDF)