Equicontinuidad

Relación entre funciones continuas

En el análisis matemático , una familia de funciones es equicontinua si todas las funciones son continuas y tienen la misma variación en una vecindad determinada , en el sentido preciso que se describe en este documento. En particular, el concepto se aplica a familias contables y, por lo tanto, a secuencias de funciones.

La equicontinuidad aparece en la formulación del teorema de Ascoli , que establece que un subconjunto de C ( X ), el espacio de funciones continuas en un espacio compacto de Hausdorff X , es compacto si y solo si está cerrado, acotado puntualmente y equicontinuo. Como corolario, una secuencia en C ( X ) es uniformemente convergente si y solo si es equicontinua y converge puntualmente a una función (no necesariamente continua a priori). En particular, el límite de una secuencia convergente puntual equicontinua de funciones continuas f _n en el espacio métrico o en el espacio localmente compacto ^[1] es continuo. Si, además,f _n son holomórficos , entonces el límite también es holomórfico.

El principio de acotación uniforme establece que una familia acotada puntualmente de operadores lineales continuos entre espacios de Banach es equicontinua.

Equicontinuidad entre espacios métricos

Deje que X e Y sean dos espacios métricos , y F una familia de funciones de X a Y . Denotaremos con d las respectivas métricas de estos espacios.

La familia  F es equicontinua en un punto x ₀  ∈  X si para todo ε> 0, existe un δ> 0 tal que d ( ƒ ( x ₀ ),  ƒ ( x )) <ε para todo  ƒ  ∈  F y todo x tal que d ( x ₀ ,  x ) <δ. La familia es equicontinua puntual si es equicontinua en cada punto de X . ^[2]

La familia  F es uniformemente equicontinua si para todo ε> 0, existe un δ> 0 tal que d ( ƒ ( x ₁ ),  ƒ ( x ₂ )) <ε para todo ƒ  ∈  F y todo x ₁ , x ₂  ∈  X tal que d ( x ₁ ,  x ₂ ) <δ. ^[3]

A modo de comparación, el enunciado 'todas las funciones ƒ en F son continuas' significa que para cada ε> 0, cada  ƒ  ∈  F y cada x ₀  ∈  X , existe un δ> 0 tal que d ( ƒ ( x ₀ ),  ƒ ( x )) <ε para todo x  ∈  X tal que d ( x ₀ ,  x ) <δ.

• Para la continuidad , δ puede depender de ε, f y x ₀ .
• Para una continuidad uniforme , δ puede depender de ε y  ƒ .
• Para la equicontinuidad puntual , δ puede depender de ε y x ₀ .
• Para una equicontinuidad uniforme , δ puede depender solo de ε.

De manera más general, cuando X es un espacio topológico, se dice que un conjunto F de funciones de X a Y es equicontinuo en x si para todo ε> 0, x tiene una vecindad U _x tal que

${\displaystyle d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon }$

para todos y ∈ U _x y ƒ  ∈  F . Esta definición suele aparecer en el contexto de espacios vectoriales topológicos .

Cuando X es compacto, un conjunto es uniformemente equicontinuo si y solo si es equicontinuo en cada punto, esencialmente por la misma razón por la que la continuidad uniforme y la continuidad coinciden en espacios compactos. Utilizado por sí solo, el término "equiconituidad" puede referirse a la noción puntual o uniforme, según el contexto. En un espacio compacto, estas nociones coinciden.

Algunas propiedades básicas se derivan inmediatamente de la definición. Todo conjunto finito de funciones continuas es equicontinuo. El cierre de un conjunto equicontinuo es nuevamente equicontinuo. Cada miembro de un conjunto uniformemente equicontinuo de funciones es uniformemente continuo , y todo conjunto finito de funciones uniformemente continuas es uniformemente equicontinuo.

Ejemplos

• Un conjunto de funciones con una constante de Lipschitz común es (uniformemente) equicontinuo. En particular, este es el caso si el conjunto consta de funciones con derivadas limitadas por la misma constante.
• El principio de delimitación uniforme proporciona una condición suficiente para que un conjunto de operadores lineales continuos sea equicontinuo.
• Una familia de iteraciones de una función analítica es equicontinua en el conjunto de Fatou . ^{[4] [5]}

Contraejemplos

• La secuencia de funciones f _n (x) = arctan (nx), no es equicontinua porque la definición se viola en x ₀ = 0

Equicontinuidad de mapas valorados en grupos topológicos

Supongamos que T es un espacio topológico e Y es un grupo topológico aditivo (es decir, un grupo dotado de una topología que hace que sus operaciones sean continuas). Los espacios vectoriales topológicos son ejemplos destacados de grupos topológicos y cada grupo topológico tiene una uniformidad canónica asociada .

Definición : ^[6] Se dice que una familia H de mapas de T a Y es equicontinua en t ∈ T si para cada vecindario V de 0 en Y , existe algún vecindario U de t en T tal que h ( U ) ⊆ h ( t ) + V para cada h ∈ h . Decimos que H es equicontinuosi es equicontinua en cada punto del T .

Tenga en cuenta que si H es equicontinuo en un punto, entonces cada mapa en H es continuo en el punto. Claramente, todo conjunto finito de mapas continuos de T a Y es equicontinuo.

Operadores lineales equicontinuos

Tenga en cuenta que cada espacio vectorial topológico (TVS) es un grupo topológico, por lo que la definición de una familia equicontinua de mapas dada para grupos topológicos se transfiere a TVS sin cambios.

Caracterización de operadores lineales equicontinuos

Notación : si H es una familia de mapas y U es un conjunto, entonces sea H ( U ): =∪h ∈ H h ( U ) .

Deje que X y Y sean espacios vectoriales topológicos (TVSS) y H ser una familia de operadores lineales de X en Y . Entonces los siguientes son equivalentes:

1. H es equicontinuo;
2. H es equicontinuo en cada punto de X ;
3. H es equicontinuo en algún punto de X ;
4. H es equicontinuo en 0 ;
   • es decir, para cada vecindario V de 0 en Y , existe un vecindario U de 0 en X tal que H ( U ) ⊆ V (o equivalentemente, h ( U ) ⊆ V para cada h ∈ H ).
5. para cada vecindario V de 0 en Y ,∩h ∈ H h  ⁻¹ ( V ) es una vecindad de 0 en X ;
6. el cierre de H en L _σ ( X ; Y ) es equicontinuo;
   • L _σ ( X ; Y ) denota L ( X ; Y ) dotado de la topología de convergencia puntual;
7. el casco equilibrado de H es equicontinuo;

mientras que si Y es localmente convexo , podemos agregar a esta lista:

8. el casco convexo de H es equicontinuo; ^[7]
9. el casco convexo equilibrado de H es equicontinuo; ^{[8] [7]}

mientras que si X e Y son localmente convexos , podemos agregar a esta lista:

10. para cada seminorma continua q sobre Y , existe una seminorma continua p sobre X tal que q ∘ h ≤ p para todo h ∈ H ; ^[7]
    • Aquí, q ∘ h ≤ p medios que q ( h ( x )) ≤ p ( x ) para todo x ∈ X .

mientras que si X tiene cañón e Y es localmente convexo, podemos agregar a esta lista:

11. H está acotado en L _σ ( X ; Y ) ; ^[9]
12. H está acotado en L _𝛽 ( X ; Y ) ; ^[9]
    • L _𝛽 ( X ; Y ) denota L ( X ; Y ) dotado de la topología de convergencia acotada (es decir, convergencia uniforme en subconjuntos acotados de X ;

mientras que si X e Y son espacios de Banach, podemos agregar a esta lista:

13. ${\displaystyle \sup \left\{\left\|T\right\|:T\in H\right\}<\infty }$(es decir, H está uniformemente acotado en la norma del operador ).

Caracterización de funcionales lineales equicontinuos

Sea X un espacio vectorial topológico (TVS) con un espacio dual continuo X  ' .

Para cualquier subconjunto H de X  ' , los siguientes son equivalentes: ^[7]

1. H es equicontinuo;
2. H es equicontinuo en el origen;
3. H es equicontinuo en algún punto de X ;
4. H está contenido en el polar de alguna vecindad de 0 en X ; ^[8]
5. el (pre) polar de H es una vecindad de 0 en X ;
6. el cierre débil * de H en X ' es equicontinuo;
7. el casco equilibrado de H es equicontinuo;
8. el casco convexo de H es equicontinuo;
9. el casco convexo equilibrado de H es equicontinuo; ^[8]

mientras que si X está normalizado , podemos agregar a esta lista:

10. H es un subconjunto fuertemente acotado de X ' ; ^[8]

mientras que si X tiene un cañón , podemos agregar a esta lista:

11. H es relativamente compacto en la topología débil * en X ' ; ^[9]
12. H es débil * acotado (es decir, H es σ ( X ' , X ) - acotado en X ' ); ^[9]
13. H está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, H está acotado 𝛽 ( X ' , X ) en X ' ). ^[9]

Propiedades de mapas lineales equicontinuos

El principio de delimitación uniforme (también conocido como el teorema de Banach-Steinhaus) establece que un conjunto H de mapas lineales entre espacios de Banach es equicontinuo si está acotado puntualmente; es decir, sup {|| h ( x ) || : H ∈ H} <∞ para cada x ∈ X . El resultado se puede generalizar a un caso en el que Y es localmente convexo y X es un espacio en barril . ^[10]

Propiedades de funcionales lineales equicontinuos

El teorema de Alaoglu implica que el cierre débil * de un subconjunto equicontinuo de${\displaystyle X^{\prime }}$es débil- * compacto; así que cada subconjunto equicontinuo es débil- * relativamente compacto. ^{[11] [7]}

Si X es cualquier TVS localmente convexo, entonces la familia de todos los barriles en X y la familia de todos los subconjuntos de X ' que son convexos, equilibrados, cerrados y acotados en${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$, Se corresponden entre sí por la polaridad (con respecto a ⟨ X , X ^# ⟩ ). ^{[12] De} ello se deduce que un TVS X localmente convexo tiene un barril si y solo si cada subconjunto acotado de${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$es equicontinuo. ^[12]

Teorema  :  suponga que X es un TVS separable. Entonces cada subconjunto equicontinuo cerrado de${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$es un espacio compacto metrizable (bajo la topología del subespacio). Si además X es metrizable entonces${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$es separable. ^[12]

Equicontinuidad y convergencia uniforme

Sea X un espacio compacto de Hausdorff y equipe a C ( X ) con la norma uniforme , lo que hace que C ( X ) sea un espacio de Banach y , por lo tanto, un espacio métrico. Entonces, el teorema de Arzelà-Ascoli establece que un subconjunto de C ( X ) es compacto si y solo si es cerrado, uniformemente acotado y equicontinuo. Esto es análogo al teorema de Heine-Borel , que establece que los subconjuntos de R ⁿ son compactos si y solo si están cerrados y acotados. Como corolario, toda secuencia equicontinua uniformemente acotada en C ( X) Contiene una subsecuencia que converge uniformemente a una función continua en X .

En vista del teorema de Arzelà-Ascoli, una secuencia en C ( X ) converge uniformemente si y solo si es equicontinua y converge puntualmente. La hipótesis del enunciado puede debilitarse un poco: una secuencia en C ( X ) converge uniformemente si es equicontinua y converge puntualmente en un subconjunto denso a alguna función en X (no se supone continua).

Prueba  -

Supongamos que f _j es una secuencia de equicontinuo de funciones continuas en un subconjunto denso D de X . Sea ε  > 0. Por equicontinuidad, para cada z ∈ D , existe una vecindad U _z de z tal que

${\displaystyle |f_{j}(x)-f_{j}(z)|<\epsilon /3}$

para todo j y x ∈ U _z . Por densidad y compacidad, podemos encontrar un subconjunto finito D ′ ⊂ D tal que X es la unión de U _z sobre z ∈ D ′ . Dado que f _j converge puntualmente en D ′ , existe N > 0 tal que

${\displaystyle |f_{j}(z)-f_{k}(z)|<\epsilon /3}$

siempre que z ∈ D ' y j , k > N . Resulta que

${\displaystyle \sup _{X}|f_{j}-f_{k}|<\epsilon }$

para todos j , k > N . De hecho, si x ∈ X , entonces x ∈ U _z para algún z ∈ D ′ y así obtenemos:

${\displaystyle |f_{j}(x)-f_{k}(x)|\leq |f_{j}(x)-f_{j}(z)|+|f_{j}(z)-f_{k}(z)|+|f_{k}(z)-f_{k}(x)|<\epsilon }$.

Por tanto, f _j es Cauchy en C ( X ) y, por tanto, converge por completitud.

Esta versión más débil se usa típicamente para probar el teorema de Arzelà-Ascoli para espacios compactos separables. Otra consecuencia es que el límite de una secuencia convergente puntual equicontinua de funciones continuas en un espacio métrico, o en un espacio localmente compacto, es continuo. (Vea a continuación un ejemplo.) En lo anterior, la hipótesis de la compacidad de X   no se puede relajar. Para ver eso, considere una función continua con soporte compacto g en R con g (0) = 1, y considere la secuencia equicontinua de funciones { ƒ _n } en R definida por ƒ _n ( x ) = g ( x -n ) . Entonces, f _n converge puntualmente a 0 pero no converge uniformemente a 0.

Este criterio de convergencia uniforme suele ser útil en análisis reales y complejos. Suponga que se nos da una secuencia de funciones continuas que converge puntualmente en algún subconjunto abierto G de R ⁿ . Como se señaló anteriormente, en realidad converge uniformemente en un subconjunto compacto de G si es equicontinuo en el conjunto compacto. En la práctica, mostrar la equicontinuidad a menudo no es tan difícil. Por ejemplo, si la secuencia consta de funciones diferenciables o funciones con cierta regularidad (por ejemplo, las funciones son soluciones de una ecuación diferencial), entonces el teorema del valor medioo se pueden utilizar otros tipos de estimaciones para mostrar que la secuencia es equicontinua. Luego se deduce que el límite de la secuencia es continuo en cada subconjunto compacto de G ; Por lo tanto, continua en G . Se puede hacer un argumento similar cuando las funciones son holomórficas. Se puede usar, por ejemplo, la estimación de Cauchy para mostrar la equicontinuidad (en un subconjunto compacto) y concluir que el límite es holomórfico. Tenga en cuenta que la equicontinuidad es esencial aquí. Por ejemplo, ƒ _n ( x ) = arctan n  x converge a un múltiplo de la función de signo discontinuo .

Generalizaciones

Equicontinuidad en espacios topológicos

El escenario más general en el que se puede definir la equicontinuidad es para espacios topológicos, mientras que la equicontinuidad uniforme requiere que el filtro de vecindades de un punto sea de alguna manera comparable con el filtro de vecindad de otro punto. Este último se hace generalmente a través de una estructura uniforme , dando un espacio uniforme . Las definiciones apropiadas en estos casos son las siguientes:

Un conjunto A de funciones continuas entre dos espacios topológicos X e Y es topológicamente equicontinuo en los puntos x ∈ X e y ∈ Y si para cualquier conjunto abierto O alrededor de y , hay vecindarios U de x y V de y tales que para cada f ∈ A , si la intersección de f [ U ] y V no está vacía, f [ U ] ⊆ O. Entonces A se dice que es topológicamente equicontinuo en x ∈ X si es topológicamente equicontinuo en x y y para cada y ∈ Y . Por último, A es equicontinua si es equicontinua en x para todos los puntos x ∈ X .

Un conjunto A de funciones continuas entre dos espacios uniformes X e Y es uniformemente equicontinuo si para cada elemento W de la uniformidad en Y , el conjunto

{( U, v ) ∈ X × X : para todos f ∈ A . ( f ( u ), f ( v )) ∈ W }

es un miembro de la uniformidad en X

Introducción a los espacios uniformes

A continuación, describimos brevemente la idea básica que subyace a las uniformidades.

La uniformidad 𝒱 es una colección no vacía de subconjuntos de Y × Y donde, entre muchas otras propiedades, cada V ∈ 𝒱 , V contiene la diagonal de Y (es decir, {( y , y ) ∈ Y } ). Cada elemento de 𝒱 se llama séquito .

Las uniformidades generalizan la idea (tomada de espacios métricos ) de puntos que están " r -close" (para r > 0 ), lo que significa que su distancia es < r . Para aclarar esto, suponga que ( Y , d ) es un espacio métrico (por lo que la diagonal de Y es el conjunto {( y , z ) ∈ Y × Y  : d ( y , z ) = 0} ) Para cualquier r > 0 , dejar

U _r = {( y , z ) ∈ Y × Y  : d ( y , z ) < r }

denota el conjunto de todos los pares de puntos que están r -cerrados. Nótese que si "olvidamos" que d existe entonces, para cualquier r > 0 , aún podríamos determinar si dos puntos de Y son r -cerrados usando sólo los conjuntos U _r . De esta manera, los conjuntos U _r encapsulado toda la información necesaria para definir las cosas tales como la continuidad uniforme y convergencia uniforme con salida necesitar ninguna métrica. Axiomatizar las propiedades más básicas de estos conjuntos conduce a la definición de una uniformidad . De hecho, los conjuntosU _r genera la uniformidad que se asocia canónicamente con el espacio métrico ( Y , d ) .

El beneficio de esta generalización es que ahora podemos extender algunas definiciones importantes que tienen sentido para los espacios métricos (por ejemplo, integridad ) a una categoría más amplia de espacios topológicos. En particular, a grupos topológicos y espacios vectoriales topológicos .

Un concepto más débil es el de continuidad uniforme.

Se dice que un conjunto A de funciones continuas entre dos espacios topológicos X e Y es uniformemente continuo en x ∈ X e y ∈ Y si se da cualquier conjunto abierto O que contenga y hay vecindarios U de x y V de y tales que f [ U ] ⊆ O siempre que f ( x ) ∈ V . Es uniformemente continuo en x si es uniformemente continuo enx y y para cada y ∈ Y , y uniformemente continua si es uniformemente continua en x para cada x ∈ X .

Equicontinuidad estocástica

La equicontinuidad estocástica es una versión de la equicontinuidad utilizada en el contexto de secuencias de funciones de variables aleatorias y su convergencia . ^[13]

Ver también

• Continuidad absoluta
• Clasificación de discontinuidades
• Función gruesa
• Función continua: función  matemática sin cambios repentinos de valor
• Función continua (teoría de conjuntos)
• Proceso estocástico continuo
• Continuidad Dini
• Función de preservación de la dirección : análogo de una función continua en espacios discretos.
• Microcontinuidad
• Función normal  : función de los ordinales en matemáticas
• Por partes
• Función simétricamente continua
• Continuidad  uniforme: restricción uniforme del cambio de funciones

Notas

1. De forma más general, en cualquier espacio generado de forma compacta ; por ejemplo, un primer espacio contable .
2. Reed y Simon (1980) , p. 29; Rudin (1987) , pág. 245
3. Reed y Simon (1980) , p. 29
4. Alan F. Beardon, S. Axler, FW Gehring, KA Ribet: Iteración de funciones racionales: sistemas dinámicos analíticos complejos. Springer, 2000; ISBN  0-387-95151-2 , ISBN 978-0-387-95151-5 ; página 49 
5. Joseph H. Silverman: La aritmética de sistemas dinámicos. Springer, 2007. ISBN 0-387-69903-1 , ISBN 978-0-387-69903-5 ; página 22  
6. Narici y Beckenstein 2011 , págs. 133-136.
7. Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 225-273.
8. Trèves , 2006 , págs. 335-345.
9. Trèves , 2006 , págs. 346-350.
10. Schaefer 1966 , Teorema 4.2.
11. Schaefer 1966 , Corolario 4.3.
12. Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 123-128.
13. de Jong, Robert M. (1993). "Equicontinuidad estocástica para procesos de mezcla". Teoría asintótica de los métodos del espacio de parámetros expansivos y la dependencia de datos en econometría . Amsterdam. págs. 53–72. ISBN 90-5170-227-2.

Referencias

• "Equicontinuity" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Reed, Michael; Simon, Barry (1980), Functional Analysis (edición revisada y ampliada), Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-585050-6.
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis (3.a ed.), Nueva York: McGraw-Hill.
• Schaefer, Helmuth H. (1966), Espacios vectoriales topológicos , Nueva York: The Macmillan Company
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .