En matemáticas, la teoría de Deligne-Lusztig es una forma de construir representaciones lineales de grupos finitos de tipo Lie utilizando cohomología ℓ-ádica con soporte compacto , introducida por Pierre Deligne y George Lusztig ( 1976 ).
Error de harvtxt de Lusztig (1984) : objetivos múltiples (2 ×): CITEREFLusztig1984 ( ayuda ) utilizó estas representaciones para encontrar todas las representaciones de todos los grupos finitos simples de tipo Lie.
Motivación
Suponga que G es un grupo reductivo definido sobre un campo finito , con el mapa F de Frobenius .
Ian G. Macdonald conjeturó que debe haber un mapa de posición general caracteres de F -STABLE máxima Tori a representaciones irreducibles(los puntos fijos de F ). Para los grupos lineales generales esto ya era conocido por el trabajo de JA Green ( 1955 ). Este fue el principal resultado demostrado por Pierre Deligne y George Lusztig ; encontraron una representación virtual para todos los caracteres de un toro máximo estable F , que es irreductible (hasta el signo) cuando el personaje está en posición general.
Cuando se divide el toro máximo, estas representaciones eran bien conocidas y están dadas por inducción parabólica de caracteres del toro (extender el carácter a un subgrupo de Borel , luego inducirlo hasta G ). Las representaciones de la inducción parabólica se pueden construir utilizando funciones en un espacio, que pueden considerarse como elementos de un grupo de cohomología cero adecuado. La construcción de Deligne y Lusztig es una generalización de la inducción parabólica a toros no divididos utilizando grupos de cohomología superior. (La inducción parabólica también se puede hacer con tori de G reemplazados por subgrupos de G de Levi , y también hay una generalización de la teoría de Deligne-Lusztig a este caso).
Vladimir Drinfeld demostró que las representaciones en series discretas de SL 2 ( F q ) se pueden encontrar en los grupos de cohomología ℓ-ádicos
de la curva afín X definida por
- .
El polinomio es un determinante utilizado en la construcción del invariante de Dickson del grupo lineal general, y es un invariante del grupo lineal especial.
La construcción de Deligne y Lusztig es una generalización de este ejemplo fundamental a otros grupos. La curva afín X se generaliza a unaagrupan sobre una "variedad Deligne-Lusztig" donde T es un toro máximo de G , y en lugar de usar solo el primer grupo de cohomología, usan una suma alterna de grupos de cohomología ℓ-ádicos con soporte compacto para construir representaciones virtuales.
La construcción de Deligne-Lusztig es formalmente similar a la construcción de Hermann Weyl de las representaciones de un grupo compacto a partir de los caracteres de un toro máximo. El caso de los grupos compactos es más fácil en parte porque solo hay una clase de conjugación de toros máximos. La construcción de Borel-Weil-Bott de representaciones de grupos algebraicos usando cohomología de gavilla coherente también es similar.
Para los grupos semisimple reales, existe un análogo de la construcción de Deligne y Lusztig, utilizando functores de Zuckerman para construir representaciones.
Variedades Deligne – Lusztig
La construcción de caracteres Deligne-Lusztig utiliza una familia de variedades algebraicas auxiliares X T llamadas variedades Deligne-Lusztig, construidas a partir de un grupo algebraico lineal reductivo G definido sobre un campo finito F q .
Si B es un subgrupo de Borel de G y T un toro máximo de B, entonces escribimos
- W T , B
para el grupo Weyl ( centralizador mod normalizador )
- N G ( T ) / T
de G con respecto a T , junto con las raíces simples correspondiente a B . Si B 1 es otro subgrupo de Borel con un toro máximo T 1, entonces hay un isomorfismo canónico de T a T 1 que identifica los dos grupos de Weyl. Así que podemos identificar todos estos grupos de Weyl, y llamarlo 'el' grupo W de G de Weyl . Del mismo modo hay un isomorfismo canónico entre cualquiera de dos toros con máxima determinada elección de raíces positivas , por lo que podemos identificar todos estos y llamarlo 'la' máxima toroide T de G .
Por la descomposición de Bruhat
- G = BWB ,
el subgrupo B 1 puede escribirse como el conjugado de B por bw para algunos b ∈ B y w ∈ W (identificado con W T , B ) donde w está determinado de forma única. En este caso decimos que B y B 1 están en la posición relativa w .
Supóngase que w es en el grupo de Weyl de G , y escribir X para la variedad proyectiva suave de todos los subgrupos de Borel de G . La variedad X ( w ) de Deligne-Lusztig consta de todos los subgrupos B de G de Borel, de manera que B y F ( B ) están en la posición relativa w [recuerde que F es el mapa de Frobenius ]. En otras palabras, es la imagen inversa del G -espacio homogéneo de pares de subgrupos de Borel en la posición relativa w , bajo la isogenia de Lang con fórmula
- g . F ( g ) -1 .
Por ejemplo, si w = 1 entonces X ( w ) es 0-dimensional y sus puntos son los subgrupos racionales Borel de G .
Dejamos que T ( w ) sea el toro T , con la estructura racional para la cual Frobenius es wF . Las clases de conjugación G F de F -toros máximos estables de G se pueden identificar con las F -clases conjugadas de W , donde decimos que w ∈ W es F -conjugado a elementos de la forma vwF ( v ) −1 para v ∈ W . Si el grupo G está dividido , de modo que F actúa trivialmente sobre W , esto es lo mismo que la conjugación ordinaria, pero en general para los grupos G no divididos , F puede actuar sobre W a través de un automorfismo de diagrama no trivial . Las clases de conjugación estable F se pueden identificar con elementos del grupo de torsores de cohomología no abeliana de Galois .
- .
Fijar un máximo toroide T de G y un Borel subgrupo B que lo contiene, tanto invariante bajo la Frobenius mapa F , y escribir U para el unipotente radical de B . Si elegimos un representante w ′ del normalizador N ( T ) que representa w , entonces definimos X ′ ( w ′) como los elementos de G / U con F ( u ) = uw ′. T ( F ) actúa libremente sobre esto , y el cociente es isomorfo a X ( T ). Entonces, para cada carácter θ de T ( w ) F obtenemos un sistema local correspondiente F θ en X ( w ). La representación virtual Deligne-Lusztig
- R θ ( w )
de G F se define por la suma alterna
de grupos de cohomología l -ádicos de X ( w ) soportados de forma compacta con coeficientes en el sistema local l -ádico F θ .
Si T es un toro F máximo invariante de G contenido en un subgrupo B de Borel tal que B y FB están en la posición relativa w, entonces R θ ( w ) también se denota por R θ T ⊂ B , o por R θ T como arriba el isomorfismo que no depende de la elección de B .
Propiedades de los personajes de Deligne – Lusztig
- El carácter de R θ T no depende de la elección del primo l ≠ p , y si θ = 1 sus valores son enteros racionales.
- Cada carácter irreducible de G F ocurre en al menos un carácter R θ ( w ).
- El producto interno de R θ T y R θ ′ T ′ es igual al número de elementos de W ( T , T ′) F que llevan de θ a θ ′. El conjunto W ( T , T ′) es el conjunto de elementos de G que llevan T a T ′ bajo conjugación, módulo el grupo T F que actúa sobre él de la manera obvia (así que si T = T ′ es el grupo Weyl) . En particular, el producto interior es 0 si w y w 'no son F -conjugado. Si θ está en posición general, entonces R θ T tiene la norma 1 y, por lo tanto, es un carácter irreductible hasta el signo. Entonces esto verifica la conjetura de Macdonald.
- La representación R θ T contiene la representación trivial si y solo si θ = 1 (en cuyo caso la representación trivial ocurre exactamente una vez).
- La representación R θ T tiene dimensión
- donde U F es un subgrupo p de Sylow de G F , del orden de la potencia más grande de p dividiendo | G F |.
- La restricción del carácter R θ T a elementos unipotentes u no depende de θ y se llama función de Green , denotada por Q T , G ( u ) (la función de Green se define como 0 en elementos que no son unipotentes). La fórmula del carácter da el carácter de R θ T en términos de funciones de Green de subgrupos de la siguiente manera:
- donde x = Do es la descomposición Jordan-Chevalley de x como el producto de conmutar elementos semisimples y unipotentes s y u , y G s es el componente identidad del centralizador de s en G . En particular, el valor de carácter desaparece a menos que la parte semisimple de x es conjugado bajo G F a algo en el toroide T .
- La variedad Deligne-Lusztig suele ser afín, en particular cuando el carácter p es mayor que el número de Coxeter h del grupo Weyl. Si es afín y el carácter θ está en posición general (de modo que el carácter Deligne-Lusztig es irreductible hasta el signo) entonces sólo uno de los grupos de cohomología H i ( X ( w ), F θ ) es distinto de cero (el uno con i igual a la longitud de w ) por lo que este grupo de cohomología da un modelo para la representación irreducible. En general, es posible que más de un grupo de cohomología sea distinto de cero, por ejemplo, cuando θ es 1.
Clasificación de Lusztig de personajes irreductibles
Lusztig clasificó todos los caracteres irreductibles de G F descomponiendo tal carácter en un carácter semisimple y un carácter unipotente (de otro grupo) y clasificando por separado los caracteres semisimple y unipotente.
El grupo dual
Las representaciones de G F se clasifican utilizando clases de conjugación del grupo dual de G . Un grupo reductor sobre un campo finito determina un dato de raíz (con la elección de la cámara de Weyl) junto con una acción del elemento Frobenius sobre él. El grupo dual G * de un grupo algebraico reductivo G definido sobre un campo finito es el que tiene un dato de raíz dual (y acción de Frobenius adjunta). Esto es similar al grupo dual de Langlands (o grupo L), excepto que aquí el grupo dual se define sobre un campo finito en lugar de sobre los números complejos. El grupo dual tiene el mismo sistema raíz, excepto que los sistemas raíz de tipo B y C se intercambian.
Las conjeturas locales de Langlands afirman (de forma muy aproximada) que las representaciones de un grupo algebraico sobre un campo local deberían estar estrechamente relacionadas con las clases de conjugación en el grupo dual de Langlands. La clasificación de Lusztig de las representaciones de grupos reductivos sobre campos finitos puede considerarse como una verificación de un análogo de esta conjetura para campos finitos (aunque Langlands nunca expresó su conjetura para este caso).
Descomposición de Jordan
En esta sección G será un grupo reductor con centro conectado.
Un carácter irreducible se llama unipotente si ocurre en algún R 1 T , y se llama semisimple si su valor promedio en elementos unipotentes regulares es distinto de cero (en cuyo caso el valor promedio es 1 o -1). Si p es un buen primo para G (lo que significa que no divide ninguno de los coeficientes de raíces expresados como combinaciones lineales de raíces simples), entonces un carácter irreducible es semisimple si y solo si su orden no es divisible por p .
Un carácter irreductible arbitrario tiene una "descomposición de Jordan": a él se le puede asociar un carácter semisimple (correspondiente a algunos elementos semisimple s del grupo dual), y una representación unipotente del centralizador de s . La dimensión del carácter irreductible es el producto de las dimensiones de sus componentes semisimple y unipotente.
Esto (más o menos) reduce la clasificación de los caracteres irreductibles al problema de encontrar los caracteres semisimples y unipotentes.
Conjugación geométrica
Dos pares ( T , θ), ( T ′, θ ′) de un toro máximo T de G fijado por F y un carácter θ de T F se denominan conjugados geométricamente si están conjugados bajo algún elemento de G ( k ), donde k es el cierre algebraico de F q . Si ocurre una representación irreductible tanto en R T θ como en R T ′ θ ′, entonces ( T , θ), ( T ′, θ ′) no necesitan conjugarse bajo G F , sino que siempre están conjugados geométricamente. Por ejemplo, si θ = θ ′ = 1 y T y T ′ no están conjugados, entonces la representación de identidad ocurre en ambos caracteres Deligne-Lusztig, y los pares correspondientes ( T , 1), ( T ′, 1) están geométricamente conjugados pero no conjugado.
Las clases de conjugación geométricas de pares ( T , theta) se parametrizan por clases de conjugación geométricas de elementos semisimple s del grupo G * F de los elementos del grupo dual G * fijado por F . Dos elementos de G * F se denominan conjugados geométricamente si se conjugan sobre el cierre algebraico del campo finito; si el centro de G está conectado esto es equivalente a conjugacy en G * F . El número de clases de pares de conjugación geométrica ( T , θ) es | Z 0 F | q l donde Z 0 es el componente identidad del centro Z de G y L es el rango semisimple de G .
Clasificación de caracteres semisimple
En esta subsección G habrá un grupo reductor con el centro Z conectado . (El caso en el que el centro no está conectado tiene algunas complicaciones adicionales).
Los caracteres semisimples de G corresponden a clases de pares de conjugación geométrica ( T , θ) (donde T es un invariante de toro máximo bajo F y θ es un carácter de T F ); de hecho, entre los caracteres irreductibles que aparecen en los caracteres Deligne-Lusztig de una clase de conjugación geométrica hay exactamente un carácter semisimple. Si el centro de G está conectado, hay | Z F | q l caracteres semisimplejos. Si κ es una clase de pares de conjugación geométrica ( T , θ), entonces el carácter de la representación semisimple correspondiente se da al signo por
y su dimensión es la parte p 'del índice del centralizador de los elementos s del grupo dual que le corresponde.
Los caracteres semisimples son (hasta el signo) exactamente los duales de los caracteres regulares, bajo la dualidad Alvis-Curtis , una operación de dualidad en caracteres generalizados. Un carácter irreducible se llama regular si aparece en la representación G F de Gelfand-Graev , que es la representación inducida por un cierto carácter unidimensional "no degenerado" del subgrupo p de Sylow . Es reducible, y cualquier carácter irreducible de G F ocurre como máximo una vez en él. Si κ es una clase de pares de conjugación geométrica ( T , θ), entonces el carácter de la representación regular correspondiente viene dado por
y su dimensión es la parte p 'del índice del centralizador del elemento s del grupo dual que le corresponde multiplicado por la parte p del orden del centralizador.
Clasificación de personajes unipotentes
Estos se pueden encontrar en los caracteres unipotentes cúspides: aquellos que no se pueden obtener de la descomposición de caracteres inducidos parabólicamente de grupos de rango más pequeños. Lusztig enumeró los caracteres cúspides unipotentes utilizando argumentos bastante complicados. El número de ellos depende solo del tipo de grupo y no del campo subyacente; y se da de la siguiente manera:
- ninguno para grupos de tipo A n ;
- ninguno para grupos de tipo 2 A n , a menos que n = s ( s +1) / 2-1 para algunos s , en cuyo caso hay uno;
- ninguno para grupos de tipo B n o C n , a menos que n = s ( s +1) para algunos s , en cuyo caso hay uno (llamado θ 10 cuando n = 2);
- 2 para grupos Suzuki de tipo 2 B 2 ;
- ninguno de los grupos de tipo D n , a menos que n = s 2 para algunos incluso s , en cuyo caso no es uno;
- ninguno de los grupos de tipo 2 D n , a menos que n = s 2 para algunos impares s , en cuyo caso no es uno;
- 2 para grupos de tipo 3 D 6 ;
- 2 para grupos de tipo E 6 ;
- 3 para grupos de tipo 2 E 6 ;
- 2 para grupos de tipo E 7 ;
- 13 para grupos de tipo E 8 ;
- 7 para grupos de tipo F 4 ;
- 10 para grupos Ree de tipo 2 F 4 ;
- 4 para grupos de tipo G 2 ;
- 6 para grupos Ree de tipo 2 G 2 .
Los caracteres unipotentes se pueden encontrar descomponiendo los caracteres inducidos de los cúspides, utilizando los resultados de Howlett y Lehrer. El número de caracteres unipotentes depende solo del sistema raíz del grupo y no del campo (o del centro). La dimensión de los caracteres unipotentes puede estar dada por polinomios universales en el orden del campo fundamental dependiendo solo del sistema raíz; por ejemplo, la representación de Steinberg tiene dimensión q r , donde r es el número de raíces positivas del sistema de raíces.
Lusztig descubrió que los caracteres unipotentes de un grupo G F (con un grupo de Weyl irreducible) pertenecen a familias de tamaño 4 n ( n ≥ 0), 8, 21 o 39. Los caracteres de cada familia están indexados por clases de conjugación de pares ( x , σ) donde x está en uno de los grupos Z / 2 Z n , S 3 , S 4 , S 5 respectivamente, y σ es una representación de su centralizador. (La familia de tamaño 39 solo ocurre para grupos de tipo E 8 , y la familia de tamaño 21 solo ocurre para grupos de tipo F 4. ) Las familias están a su vez indexadas por representaciones especiales del grupo de Weyl, o equivalentemente por 2- células laterales del grupo Weyl. Por ejemplo, el grupo E 8 ( F q ) tiene 46 familias de caracteres unipotentes correspondientes a las 46 representaciones especiales del grupo Weyl de E 8 . Hay 23 familias con 1 carácter, 18 familias con 4 caracteres, 4 familias con 8 caracteres y una familia con 39 caracteres (que incluye los 13 caracteres unipotentes cúspides).
Ejemplos de
Suponga que q es una potencia prima impar y G es el grupo algebraico SL 2 . Describimos las representaciones de Deligne-Lusztig del grupo SL 2 ( F q ). (La teoría de la representación de estos grupos era bien conocida mucho antes de la teoría de Deligne-Lusztig).
Las representaciones irreductibles son:
- La representación trivial de la dimensión 1.
- La representación de Steinberg de la dimensión q
- Las ( q - 3) / 2 representaciones en serie principales irreductibles de dimensión q + 1, junto con 2 representaciones de dimensión ( q + 1) / 2 provenientes de una representación en serie principal reducible.
- Las ( q - 1) / 2 representaciones en serie discretas irreductibles de dimensión q - 1, junto con 2 representaciones de dimensión ( q - 1) / 2 provenientes de una representación en serie discreta reducible.
Hay dos clases de tori asociadas a los dos elementos (o clases de conjugación) del grupo Weyl, denotados por T (1) (cíclico de orden q −1) y T ( w ) (cíclico de orden q + 1). El elemento no trivial del grupo Weyl actúa sobre los caracteres de estos toros cambiando cada carácter a su inverso. Entonces, el grupo de Weyl fija un carácter si y solo si tiene orden 1 o 2. Según la fórmula de ortogonalidad, R θ ( w ) es (hasta el signo) irreducible si θ no tiene orden 1 o 2, y una suma de dos representaciones irreductibles si tiene orden 1 o 2.
La variedad X (1) de Deligne-Lusztig para el toro dividido es 0-dimensional con q +1 puntos, y puede identificarse con los puntos del espacio proyectivo unidimensional definido sobre F q . Las representaciones R θ (1) se dan como sigue:
- 1 + Steinberg si θ = 1
- La suma de las 2 representaciones de dimensión ( q +1) / 2 si θ tiene orden 2.
- Una representación de serie principal irreducible si θ tiene un orden mayor que 2.
La variedad X ( w ) de Deligne-Lusztig para el toro no dividido es unidimensional y se puede identificar con el complemento de X (1) en el espacio proyectivo unidimensional. Entonces es el conjunto de puntos ( x : y ) del espacio proyectivo no fijado por el mapa de Frobenius ( x : y ) → ( x q : y q ), en otras palabras los puntos con
La variedad de puntos ( x , y ) de Drinfeld del espacio afín con
se asigna a X ( w ) de la manera obvia, y es actuado libremente por el grupo de q + 1a raíz λ de 1 (que se puede identificar con los elementos del toro no dividido que se definen sobre F q ), con λ tomando ( x , y ) a (λ x , λ y ). La variedad Deligne Lusztig es el cociente de la variedad Drinfeld por esta acción de grupo. Las representaciones - R θ ( w ) se dan como sigue:
- Steinberg − 1 si θ = 1
- La suma de las 2 representaciones de dimensión ( q −1) / 2 si θ tiene orden 2.
- Una representación de serie discreta irreducible si θ tiene un orden mayor que 2.
Las representaciones unipotentes son la representación trivial y la representación de Steinberg, y las representaciones semisimples son todas las representaciones distintas de la representación de Steinberg. (En este caso, las representaciones semisimples no se corresponden exactamente con las clases de conjugación geométrica del grupo dual, ya que el centro de G no está conectado).
Cohomología de intersección y rollos de caracteres
Lusztig (1985) reemplazó la cohomología ℓ-ádica utilizada para definir las representaciones de Deligne-Lusztig con la cohomología ℓ-ádica de intersección , e introdujo ciertas gavillas perversas llamadas gavillas de caracteres . Las representaciones definidas usando cohomología de intersección están relacionadas con las definidas usando cohomología ordinaria por polinomios de Kazhdan-Lusztig . Los F -invariant gavillas de caracteres irreducibles están estrechamente relacionados con los caracteres irreducibles del grupo G F .
Referencias
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