En el área matemática de la teoría de grupos geométricos , un diagrama de Van Kampen (a veces también llamado diagrama de Lyndon-Van Kampen [1] [2] [3] ) es un diagrama plano que se usa para representar el hecho de que una palabra en particular en los generadores de un grupo dado por una presentación grupal representa el elemento de identidad en ese grupo.
Historia
La noción de diagrama de Van Kampen fue introducida por Egbert van Kampen en 1933. [4] Este artículo apareció en el mismo número de American Journal of Mathematics que otro artículo de Van Kampen, donde demostró lo que ahora se conoce como Seifert-Van Teorema de Kampen . [5] El resultado principal del artículo sobre los diagramas de Van Kampen, ahora conocido como el lema de van Kampen, puede deducirse del teorema de Seifert-Van Kampen aplicando este último al complejo de presentación de un grupo. [6] Sin embargo, Van Kampen no lo notó en ese momento y este hecho solo se hizo explícito mucho más tarde (ver, por ejemplo, [7] ). Los diagramas de Van Kampen siguieron siendo una herramienta infrautilizada en la teoría de grupos durante unos treinta años, hasta el advenimiento de la teoría de la pequeña cancelación en la década de 1960, donde los diagramas de Van Kampen desempeñan un papel central. [8] Actualmente, los diagramas de Van Kampen son una herramienta estándar en la teoría de grupos geométricos . Se utilizan, en particular, para el estudio de funciones isoperimétricas en grupos, y sus diversas generalizaciones, como funciones isodiamétricas, funciones de longitud de llenado, etc.
Definicion formal
Las definiciones y notaciones siguientes siguen en gran medida a Lyndon y Schupp. [9]
Dejar
- (†)
ser una presentación grupal donde todas las r ∈ R son palabras cíclicamente reducidas en el grupo libre F ( A ). A menudo se supone que el alfabeto A y el conjunto de relaciones definitorias R son finitos, lo que corresponde a una presentación de grupo finito , pero esta suposición no es necesaria para la definición general de un diagrama de Van Kampen. Sea R ∗ el cierre simétrico de R , es decir, que R ∗ se obtenga de R sumando todas las permutaciones cíclicas de los elementos de R y de sus inversas.
Un diagrama de Van Kampen sobre la presentación (†) es un complejo de células finitas planas , dado con una incrustación específica con los siguientes datos adicionales y satisfaciendo las siguientes propiedades adicionales:
- El complejo está conectado y simplemente conectado .
- Cada borde (una celda) deestá marcado por una flecha y una carta de un ∈ A .
- Algún vértice (celda cero) que pertenece al límite topológico dese especifica como un vértice base .
- Para cada región (dos celdas) depara cada vértice el ciclo límite de esa región y para cada una de las dos opciones de dirección (en sentido horario o antihorario) la etiqueta del ciclo límite de la región leída desde ese vértice y en esa dirección es una palabra libremente reducida en F ( A ) que pertenece a R ∗ .
Así, el esqueleto 1 de es un gráfico plano conectado finito Γ incrustado en y las dos celdas de son precisamente las regiones complementarias acotadas para este gráfico.
Al elegir R ∗, la condición 4 es equivalente a requerir que para cada región dehay algo de vértice límite de esa región y algunos elección de la dirección (en sentido horario o en sentido antihorario) tal que la etiqueta de límite de la región lee desde ese vértice y en esa dirección se reduce libremente y pertenece a R .
Un diagrama de Van Kampen también tiene el ciclo límite , denotado, que es una ruta de borde en el gráfico Γ correspondiente a dar la vueltauna vez en el sentido de las agujas del reloj a lo largo del límite de la región complementaria ilimitada de Γ , comenzando y terminando en la base-vértice de. La etiqueta de ese ciclo de límite es una palabra w en el alfabeto A ∪ A −1 (que no necesariamente se reduce libremente) que se llama la etiqueta de límite de.
Terminología adicional
- Un diagrama de Van Kampen se llama diagrama de disco si es un disco topológico, es decir, cuando cada borde de es un borde límite de alguna región de y cuando no tiene vértices de corte.
- Un diagrama de Van Kampen se llama no reducido si existe un par de reducción en, que es un par de regiones distintas de de manera que sus ciclos de límite comparten un borde común y de tal modo que sus ciclos de límite, leídos a partir de ese borde, en el sentido de las agujas del reloj para una de las regiones y en el sentido contrario a las agujas del reloj para la otra, son iguales como palabras en A ∪ A −1 . Si no existe tal par de regiones,se llama reducido .
- El número de regiones (dos celdas) de se llama el área de denotado .
En general, un diagrama de Van Kampen tiene una estructura "similar a un cactus" donde uno o más componentes de disco unidos por arcos (posiblemente degenerados), consulte la figura siguiente:
Ejemplo
La siguiente figura muestra un ejemplo de un diagrama de Van Kampen para el grupo abeliano libre de rango dos
La etiqueta de límite de este diagrama es la palabra
El área de este diagrama es igual a 8.
Lema de Van Kampen
Un resultado básico clave en la teoría es el llamado lema de Van Kampen [9] que establece lo siguiente:
- Dejar ser un diagrama de Van Kampen sobre la presentación (†) con la etiqueta de límite w que es una palabra (no necesariamente reducida libremente) en el alfabeto A ∪ A −1 . Entonces w = 1 en G .
- Deje que w sea una palabra libremente reducida en el alfabeto A ∪ A -1 tal que w = 1 en G . Entonces existe un diagrama reducido de Van Kampensobre la presentación (†) cuya etiqueta de límite se reduce libremente y es igual a w .
Bosquejo de la prueba
Primero observe que para un elemento w ∈ F ( A ) tenemos w = 1 en G si y solo si w pertenece al cierre normal de R en F ( A ) es decir, si y solo si w se puede representar como
- (♠)
donde n ≥ 0 y donde s i ∈ R ∗ para i = 1, ..., n .
La parte 1 del lema de Van Kampen se demuestra por inducción en el área de . El paso inductivo consiste en "despegar" una de las regiones limítrofes de para obtener un diagrama de Van Kampen con ciclo de frontera wy observando que en F ( A ) tenemos
donde s ∈ R ∗ es el ciclo límite de la región que se eliminó para obtener de .
La demostración de la segunda parte del lema de Van Kampen es más complicada. Primero, es fácil ver que si w se reduce libremente y w = 1 en G , existe algún diagrama de Van Kampen.con etiqueta de límite w 0 tal que w = w 0 en F ( A ) (después de posiblemente reducir libremente w 0 ). Es decir, considere una representación de w de la forma (♠) anterior. Entonces hazser una cuña de n "paletas" con "tallos" etiquetados con u i y con los "caramelos" (2 celdas) etiquetados con s i . Entonces la etiqueta de límite dees una palabra w 0 tal que w = w 0 en F ( A ). Sin embargo, es posible que la palabra w 0 no se reduzca libremente. Luego, uno comienza a realizar movimientos de "plegado" para obtener una secuencia de diagramas de Van Kampen.reduciendo cada vez más libremente sus etiquetas de límite y asegurándose de que en cada paso la etiqueta de límite de cada diagrama de la secuencia sea igual ah en F ( A ). La secuencia termina en un número finito de pasos con un diagrama de Van Kampen.cuya etiqueta de límite se reduce libremente y, por lo tanto, es igual a w como palabra. El diagramano se puede reducir. Si eso sucede, podemos eliminar los pares de reducción de este diagrama mediante una simple operación quirúrgica sin afectar la etiqueta del límite. Eventualmente, esto produce un diagrama de Van Kampen reducido.cuyo ciclo de frontera se reduce libremente y es igual a w .
Versión reforzada del lema de Van Kampen
Además, la prueba anterior muestra que la conclusión del lema de Van Kampen puede fortalecerse de la siguiente manera. [9] La parte 1 se puede fortalecer para decir que sies un diagrama de Van Kampen del área n con etiqueta de límite w, entonces existe una representación (♠) para w como un producto en F ( A ) de exactamente n conjugados de elementos de R ∗ . La parte 2 se puede fortalecer para decir que si w se reduce libremente y admite una representación (♠) como un producto en F ( A ) de n conjugados de elementos de R ∗, entonces existe un diagrama de Van Kampen reducido con etiqueta de límite wy de área como máximo n .
Funciones de Dehn y funciones isoperimétricas
Área de una palabra que representa la identidad.
Deje w ∈ F ( A ) sea tal que w = 1 en G . Entonces, el área de w , denotada Área ( w ), se define como el mínimo de las áreas de todos los diagramas de Van Kampen con etiquetas de contorno w (el lema de Van Kampen dice que existe al menos uno de esos diagramas).
Se puede demostrar que el área de w se puede definir de manera equivalente como el más pequeño n ≥0 tal que existe una representación (♠) que expresa w como un producto en F ( A ) de n conjugados de los relatores definitorios.
Funciones isoperimétricas y funciones Dehn
A no negativo monótona no decreciente función f ( n ) se dice que es una función isoperimétrico para la presentación (†) si para cada palabra libremente reducida w tal que w = 1 en G tenemos
donde | w | es la longitud de la palabra w .
Supongamos ahora que el alfabeto A en (†) es finito. Entonces la función Dehn de (†) se define como
Es fácil ver que Dehn ( n ) es una función isoperimétrica para (†) y, además, si f ( n ) es cualquier otra función isoperimétrica para (†) entonces Dehn ( n ) ≤ f ( n ) para cada n ≥ 0.
Deje w ∈ F ( A ) ser un reducido libremente palabra tal que w = 1 en G . Un diagrama de Van Kampencon etiqueta de límite w se llama mínimo siLos diagramas mínimos de Van Kampen son análogos discretos de superficies mínimas en la geometría de Riemann .
Generalizaciones y otras aplicaciones
- Hay varias generalizaciones de los diagramas de van-Kampen donde, en lugar de ser plano, conectado y simplemente conectado (lo que significa ser homotópicamente equivalente a un disco), el diagrama se dibuja o es homotópicamente equivalente a alguna otra superficie. Resulta que existe una estrecha conexión entre la geometría de la superficie y ciertas nociones teóricas grupales. Uno de ellos particularmente importante es la noción de un diagrama de Van Kampen anular , que es homotópicamente equivalente a un anillo . Los diagramas anulares, también conocidos como diagramas de conjugación , se pueden utilizar para representar la conjugación en grupos dados por presentaciones grupales . [9] También los diagramas esféricos de Van Kampen están relacionados con varias versiones de asfericidad teórica de grupos y con la conjetura de asfericidad de Whitehead , [10] Los diagramas de Van Kampen en el toro están relacionados con elementos de conmutación, los diagramas en el plano proyectivo real están relacionados con involuciones en el grupo y los diagramas de la botella de Klein están relacionados con elementos que se conjugan con su propio inverso.
- Los diagramas de Van Kampen son objetos centrales en la teoría de la pequeña cancelación desarrollada por Greendlinger, Lyndon y Schupp en las décadas de 1960 y 1970. [9] [11] La teoría de la cancelación pequeña se ocupa de presentaciones grupales en las que las relaciones definitorias tienen "pequeñas superposiciones" entre sí. Esta condición se refleja en la geometría de los diagramas de Van Kampen reducidos sobre pequeñas presentaciones de cancelación, lo que obliga a ciertos tipos de comportamiento de curvatura negativa o no positiva. Este comportamiento proporciona información útil sobre las propiedades algebraicas y algorítmicas de pequeños grupos de cancelación, en particular con respecto a la palabra y los problemas de conjugación. La teoría de la pequeña cancelación fue uno de los precursores clave de la teoría de grupos geométricos , que surgió como un área matemática distinta a fines de la década de 1980 y sigue siendo una parte importante de la teoría de grupos geométricos .
- Los diagramas de Van Kampen juegan un papel clave en la teoría de grupos hiperbólicos de palabras introducida por Gromov en 1987. [12] En particular, resulta que un grupo presentado finitamente es hiperbólico de palabras si y solo si satisface una desigualdad isoperimétrica lineal. Además, existe una brecha isoperimétrica en el posible espectro de funciones isomperimétricas para grupos presentados finitamente: para cualquier grupo presentado finitamente, o es hiperbólico y satisface una desigualdad isoperimétrica lineal o bien la función Dehn es al menos cuadrática. [13] [14]
- El estudio de funciones isoperimétricas para grupos presentados de forma finita se ha convertido en un tema general importante en la teoría de grupos geométricos donde se ha producido un progreso sustancial. Se ha trabajado mucho en la construcción de grupos con funciones de Dehn "fraccionarias" (es decir, las funciones de Dehn son polinomios de grado no entero). [15] El trabajo de Rips , Ol'shanskii, Birget y Sapir [16] [17] exploró las conexiones entre las funciones de Dehn y las funciones de complejidad temporal de las máquinas de Turing y mostró que se puede realizar una función temporal arbitraria "razonable" (hasta equivalencia apropiada) como la función Dehn de algún grupo presentado de forma finita.
- También se han explorado en el tema varias versiones estratificadas y relativizadas de los diagramas de Van Kampen. En particular, una versión estratificada de la teoría de la pequeña cancelación, desarrollada por Ol'shanskii, resultó en construcciones de varios "monstruos" teóricos de grupo, como el Monstruo de Tarski , [18] y en soluciones geométricas del problema de Burnside para grupos periódicos de gran exponente. [19] [20] Osin utilizó versiones relativas de los diagramas de Van Kampen (con respecto a una colección de subgrupos) para desarrollar un enfoque de función isoperimétrica para la teoría de grupos relativamente hiperbólicos . [21]
Ver también
- Teoría de grupos geométricos
- Presentación de un grupo
- Teorema de Seifert-Van Kampen
Referencias basicas
- Alexander Yu. Ol'shanskii. Geometría de la definición de relaciones en grupos. Traducido del original ruso de 1989 por Yu. A. Bakhturin. Matemáticas y sus aplicaciones (Serie soviética), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN 0-7923-1394-1
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Notas al pie
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- ^ B. Fine, A. Gaglione, A. Myasnikov, G. Rosenberger y D. Spellman, La teoría elemental de grupos. Una guía a través de las demostraciones de las conjeturas de Tarski. Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas, 60. De Gruyter, Berlín, 2014. ISBN 978-3-11-034199-7
- ^ E. van Kampen. Sobre algunos lemas en la teoría de grupos . Revista Estadounidense de Matemáticas . vol. 55, (1933), págs. 268-273.
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- ^ Denis V. Osin. Grupos relativamente hiperbólicos: geometría intrínseca, propiedades algebraicas y problemas algorítmicos. Memorias de la American Mathematical Society 179 (2006), no. 843.
enlaces externos
- Diagramas de Van Kampen de los archivos de David A. Jackson