En matemáticas y física teórica , un operador diferencial invariante es una especie de mapa matemático de algunos objetos a un objeto de tipo similar. Estos objetos suelen ser funciones en, funciones en una variedad , funciones con valores vectoriales , campos vectoriales o, de manera más general, secciones de un paquete vectorial .
En un operador diferencial invariante , el término operador diferencial indica que el valor del mapa depende solo de y los derivados de en . La palabra invariante indica que el operador contiene alguna simetría . Esto significa que hay un grupo con una acción de grupo en las funciones (u otros objetos en cuestión) y esta acción es preservada por el operador:
Por lo general, la acción del grupo tiene el significado de un cambio de coordenadas (cambio de observador) y la invariancia significa que el operador tiene la misma expresión en todas las coordenadas admisibles.
Invarianza en espacios homogéneos
Sea M = G / H un espacio homogéneo para un grupo de Lie G y un subgrupo de Lie H. Cada representación da lugar a un paquete de vectores
Secciones se puede identificar con
De esta forma, el grupo G actúa sobre las secciones a través de
Ahora vamos V y W dos paquetes del vector más de M . Entonces un operador diferencial
que mapea secciones de V a secciones de W se llama invariante si
para todas las secciones en y elementos g en G . Todos los operadores diferenciales lineales invariantes en geometrías parabólicas homogéneas , es decir, cuando G es semi-simple y H es un subgrupo parabólico, son dados dualmente por homomorfismos de módulos de Verma generalizados .
Invarianza en términos de índices abstractos
Dadas dos conexiones y y una forma , tenemos
por algún tensor . [1] Dada una clase de equivalencia de conexiones, decimos que un operador es invariante si la forma del operador no cambia cuando cambiamos de una conexión en la clase de equivalencia a otra. Por ejemplo, si consideramos la clase de equivalencia de todas las conexiones libres de torsión , entonces el tensor Q es simétrico en sus índices más bajos, es decir. Por lo tanto, podemos calcular
donde los corchetes denotan simetrización sesgada. Esto muestra la invariancia de la derivada exterior cuando actúa sobre una forma. Las clases de equivalencia de conexiones surgen naturalmente en la geometría diferencial, por ejemplo:
- en geometría conforme, una clase de equivalencia de conexiones viene dada por las conexiones Levi Civita de todas las métricas en la clase conforme;
- en geometría proyectiva, todas las conexiones que tienen las mismas geodésicas dan una clase de equivalencia de conexión ;
- en la geometría CR, las conexiones Tanaka-Webster dan una clase de equivalencia de conexiones para cada elección de estructura pseudohermitiana
Ejemplos de
- El operador de gradiente habitualactuar sobre funciones de valor real en el espacio euclidiano es invariante con respecto a todas las transformaciones euclidianas .
- El diferencial que actúa sobre funciones en una variedad con valores en formas 1 (su expresión es
en cualquier coordenadas locales) es invariante con respecto a todas las transformaciones suaves de la variedad (la acción de la transformación en las formas diferenciales es solo el retroceso ). - De manera más general, la derivada exterior
que actúa sobre n- formas de cualquier variedad suave M es invariante con respecto a todas las transformaciones suaves. Se puede demostrar que la derivada exterior es el único operador diferencial lineal invariante entre esos paquetes. - El operador de Dirac en física es invariante con respecto al grupo de Poincaré (si elegimos la acción adecuada del grupo de Poincaré sobre funciones valoradas en espinor. Sin embargo, esta es una pregunta sutil y si queremos hacer esto matemáticamente riguroso, deberíamos decir que es invariante con respecto a un grupo que es una doble portada del grupo de Poincaré)
- La ecuación de la muerte conforme
es un operador diferencial lineal invariante conforme entre campos vectoriales y tensores simétricos sin trazas.
Invariancia conforme
Dada una métrica
en , podemos escribir la esfera como el espacio de los generadores del cono nulo
De esta manera, el modelo plano de geometría conforme es la esfera con y P el estabilizador de un punto en . Se conoce una clasificación de todos los operadores diferenciales lineales conforme invariantes en la esfera (Eastwood y Rice, 1987). [2]
Ver también
- Operadores diferenciales
- Invariante de Laplace
- Factorización invariante de LPDO
Notas
- ^ Penrose y Rindler (1987). Spinors y espacio-tiempo . Monografías de Cambridge sobre física matemática.
- ^ MG Eastwood y JW Rice (1987). "Operadores diferenciales conforme invariantes en el espacio de Minkowski y sus análogos curvos". Comun. Matemáticas. Phys . 109 (2): 207–228.
[1]
Referencias
- Slovák, Jan (1993). Operadores invariantes en colectores conformales . Notas de conferencias de investigación, Universidad de Viena (disertación). Enlace externo en
|title=
( ayuda ) - Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) . Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, Nueva York. Archivado desde el original (PDF) el 30 de marzo de 2017 . Consultado el 5 de enero de 2011 .
- Eastwood, MG; Rice, JW (1987). "Operadores diferenciales conforme invariantes en el espacio de Minkowski y sus análogos curvos". Comun. Matemáticas. Phys . 109 (2): 207–228. Código bibliográfico : 1987CMaPh.109..207E . doi : 10.1007 / BF01215221 .
- Kroeske, Jens (2008). "Emparejamientos diferenciales bilineales invariantes en geometrías parabólicas". Tesis doctoral de la Universidad de Adelaide . arXiv : 0904.3311 . Código Bibliográfico : 2009PhDT ....... 274K .
- ^ Dobrev, Vladimir (1988). "Construcción canónica de operadores diferenciales entrelazados asociados con representaciones de grupos de Lie semisimples reales" . Rept. Matemáticas. Phys . 25 (2): 159-181. Código Bibliográfico : 1988RpMP ... 25..159D . doi : 10.1016 / 0034-4877 (88) 90050-X .