El tensor de tensión viscosa es un tensor que se utiliza en la mecánica del continuo para modelar la parte de la tensión en un punto dentro de algún material que se puede atribuir a la tasa de deformación , la tasa a la que se deforma alrededor de ese punto.
El tensor de tensión viscosa es formalmente similar al tensor de tensión elástica (tensor de Cauchy) que describe las fuerzas internas en un material elástico debido a su deformación. Ambos tensores mapean el vector normal de un elemento de superficie a la densidad y dirección de la tensión que actúa sobre ese elemento de superficie. Sin embargo, la tensión elástica se debe a la cantidad de deformación ( deformación ), mientras que la tensión viscosa se debe a la tasa de cambio de deformación con el tiempo (tasa de deformación). En materiales viscoelásticos , cuyo comportamiento es intermedio entre los líquidos y sólidos, el tensor de tensión totalcomprende componentes tanto viscosos como elásticos ("estáticos"). Para un material completamente fluido, el término elástico se reduce a la presión hidrostática .
En un sistema de coordenadas arbitrario, la tensión viscosa ε y la tasa de deformación E en un punto y tiempo específicos se pueden representar mediante matrices de números reales de 3 × 3 . En muchas situaciones existe una relación aproximadamente lineal entre esas matrices; es decir, un tensor de viscosidad de cuarto orden μ tal que ε = μE . El tensor μ tiene cuatro índices y consta de 3 × 3 × 3 × 3 números reales (de los cuales solo 21 son independientes). En un fluido newtoniano , por definición, la relación entre ε y E es perfectamente lineal, y el tensor de viscosidad μ es independiente del estado de movimiento o tensión en el fluido. Si el fluido es isotrópico además de newtoniano, el tensor de viscosidad μ tendrá solo tres parámetros reales independientes: un coeficiente de viscosidad global, que define la resistencia del medio a la compresión uniforme gradual; un coeficiente de viscosidad dinámica que expresa su resistencia al cizallamiento gradual, y un coeficiente de viscosidad rotacional que resulta de un acoplamiento entre el flujo de fluido y la rotación de las partículas individuales. [1] : 304 En ausencia de tal acoplamiento, el tensor de tensión viscoso tendrá solo dos parámetros independientes y será simétrico. En fluidos no newtonianos , por otro lado, la relación entre ε y E puede ser extremadamente no lineal, y ε incluso puede depender de otras características del flujo además de E .
Definición
Esfuerzo viscoso versus elástico
Las tensiones mecánicas internas en un medio continuo generalmente están relacionadas con la deformación del material desde algún estado "relajado" (sin tensión). Estas tensiones generalmente incluyen un componente de tensión elástica ("estática") , que está relacionada con la cantidad actual de deformación y actúa para restaurar el material a su estado de reposo; y un componente de tensión viscoso , que depende de la velocidad a la que la deformación cambia con el tiempo y se opone a ese cambio.
El tensor de estrés viscoso
Al igual que las tensiones totales y elásticas, la tensión viscosa alrededor de un determinado punto del material, en cualquier momento, puede modelarse mediante un tensor de tensión, una relación lineal entre el vector de dirección normal de un plano ideal a través del punto y la densidad de tensión local. en ese plano en ese punto.
En cualquier sistema de coordenadas elegido con ejes numerados 1, 2, 3, este tensor de tensión viscoso se puede representar como una matriz de 3 × 3 de números reales:
Tenga en cuenta que estos números generalmente cambian con el punto py el tiempo t .
Considere un elemento de superficie plana infinitesimal centrado en el punto p , representado por un vector dA cuya longitud es el área del elemento y cuya dirección es perpendicular a él. Sea dF la fuerza infinitesimal debida a la tensión viscosa que se aplica a través de ese elemento de superficie al material en el lado opuesto a dA . Las componentes de dF a lo largo de cada eje de coordenadas vienen dadas por
En cualquier material, el tensor de tensión total σ es la suma de este tensor de tensión viscosa ε , el tensor de tensión elástica τ y la presión hidrostática p . En un material perfectamente fluido, que por definición no puede tener un esfuerzo cortante estático, el tensor de esfuerzo elástico es cero:
donde δ ij es el tensor unitario , tal que δ ij es 1 si i = j y 0 si i ≠ j .
Mientras que las tensiones viscosas son generadas por fenómenos físicos que dependen fuertemente de la naturaleza del medio, el tensor de tensión viscosa ε es solo una descripción de las fuerzas momentáneas locales entre parcelas adyacentes del material, y no una propiedad del material.
Simetría
Ignorando el par en un elemento debido al flujo (par "extrínseco"), el par "intrínseco" viscoso por unidad de volumen en un elemento de fluido se escribe (como un tensor antisimétrico) como
y representa la tasa de cambio de la densidad del momento angular intrínseco con el tiempo. Si las partículas tienen grados de libertad rotacionales, esto implicará un momento angular intrínseco y si este momento angular puede ser cambiado por colisiones, es posible que este momento angular intrínseco pueda cambiar en el tiempo, dando como resultado un par intrínseco que no es cero. lo que implicará que el tensor de tensión viscoso tendrá un componente antisimétrico con un coeficiente de viscosidad rotacional correspondiente . [1] Si las partículas de fluido tienen un momento angular despreciable o si su momento angular no está acoplado apreciablemente al momento angular externo, o si el tiempo de equilibrio entre los grados de libertad externo e interno es prácticamente cero, el par será cero y el El tensor de tensión viscoso será simétrico. Las fuerzas externas pueden dar como resultado un componente asimétrico del tensor de tensión (por ejemplo, fluidos ferromagnéticos que pueden sufrir un par debido a campos magnéticos externos ).
Causas físicas del estrés viscoso
En un material sólido, el componente elástico de la tensión puede atribuirse a la deformación de los enlaces entre los átomos y las moléculas del material, y puede incluir tensiones cortantes . En un fluido, la tensión elástica se puede atribuir al aumento o disminución del espaciamiento medio de las partículas, lo que afecta su tasa de colisión o interacción y, por lo tanto, la transferencia de impulso a través del fluido; por lo tanto, está relacionado con el componente aleatorio térmico microscópico del movimiento de las partículas y se manifiesta como una tensión de presión hidrostática isotrópica .
El componente viscoso de la tensión, por otro lado, surge de la velocidad media macroscópica de las partículas. Puede atribuirse a la fricción o difusión de partículas entre parcelas adyacentes del medio que tienen diferentes velocidades medias.
La ecuación de viscosidad
El tensor de velocidad de deformación
En un flujo suave, la velocidad a la que la deformación local del medio cambia con el tiempo (la velocidad de deformación) se puede aproximar mediante un tensor de velocidad de deformación E ( p , t ) , que generalmente es una función del punto py el tiempo. t . Con respecto a cualquier sistema de coordenadas, se puede expresar mediante una matriz de 3 × 3.
El tensor de velocidad de deformación E ( p , t ) se puede definir como la derivada del tensor de deformación e ( p , t ) con respecto al tiempo o, de manera equivalente, como la parte simétrica del gradiente (derivada con respecto al espacio) de el vector de velocidad de flujo v ( p , t ) :
donde ∇ v denota el gradiente de velocidad. En coordenadas cartesianas, ∇ v es la matriz jacobiana ,
y por lo tanto
De cualquier manera, el tensor de velocidad de deformación E ( p , t ) expresa la velocidad a la que cambia la velocidad media en el medio a medida que uno se aleja del punto p , excepto por los cambios debidos a la rotación del medio alrededor de p como un cuerpo rígido. , que no cambian las distancias relativas de las partículas y solo contribuyen a la parte rotacional de la tensión viscosa a través de la rotación de las propias partículas individuales. (Estos cambios comprenden la vorticidad del flujo, que es el rizo (rotacional) ∇ × v de la velocidad; que también es la parte antisimétrica del gradiente de velocidad ∇ v .)
Flujos generales
El tensor de tensiones viscosas es solo una aproximación lineal de las tensiones alrededor de un punto p , y no tiene en cuenta los términos de orden superior de su serie de Taylor . Sin embargo, en casi todas las situaciones prácticas estos términos pueden ignorarse, ya que se vuelven insignificantes en las escalas de tamaño donde se genera la tensión viscosa y afecta el movimiento del medio. Lo mismo puede decirse del tensor de tasa de deformación E como una representación del patrón de velocidad alrededor de p .
Así, los modelos lineales representados por los tensores E y ε son casi siempre suficientes para describir la tensión viscosa y la tasa de deformación alrededor de un punto, con el propósito de modelar su dinámica . En particular, la tasa de deformación local E ( p , t ) es la única propiedad del flujo de velocidad que afecta directamente la tensión viscosa ε ( p , t ) en un punto dado.
Por otro lado, la relación entre E y ε puede ser bastante complicada y depende en gran medida de la composición, el estado físico y la estructura microscópica del material. A menudo, también es muy no lineal y puede depender de las deformaciones y tensiones experimentadas anteriormente por el material que ahora se encuentra alrededor del punto en cuestión.
Medios de comunicación newtonianos generales
Se dice que un medio es newtoniano si la tensión viscosa ε ( p , t ) es una función lineal de la tasa de deformación E ( p , t ) , y esta función no depende de ninguna otra forma de las tensiones y el movimiento del fluido alrededor de p . Ningún fluido real es perfectamente newtoniano, pero se puede suponer que muchos fluidos importantes, incluidos los gases y el agua, lo son, siempre que las tensiones de flujo y las tasas de deformación no sean demasiado altas.
En general, una relación lineal entre dos tensores de segundo orden es un tensor de cuarto orden. En un medio newtoniano, específicamente, la tensión viscosa y la velocidad de deformación están relacionadas por el tensor de viscosidad μ :
El coeficiente de viscosidad μ es una propiedad de un material newtoniano que, por definición, no depende de otra manera de v o σ .
El tensor de velocidad de deformación E ( p , t ) es simétrico por definición, por lo que solo tiene seis elementos linealmente independientes. Por lo tanto, el tensor de viscosidad μ tiene solo 6 × 9 = 54 grados de libertad en lugar de 81. En la mayoría de los fluidos, el tensor de tensión viscoso también es simétrico, lo que reduce aún más el número de parámetros de viscosidad a 6 × 6 = 36.
Esfuerzo viscoso a granel y cizallamiento
En ausencia de efectos de rotación, el tensor de tensión viscoso será simétrico. Al igual que con cualquier tensor simétrico, el tensor de tensión viscosa ε se puede expresar como la suma de un tensor simétrico sin trazas ε s , y un múltiplo escalar ε v del tensor de identidad. En forma de coordenadas,
Esta descomposición es independiente del sistema de coordenadas y, por lo tanto, es físicamente significativa. La parte constante ε v del tensor de tensión viscosa se manifiesta como una especie de presión, o tensión en masa, que actúa de forma igual y perpendicular sobre cualquier superficie independientemente de su orientación. A diferencia de la presión hidrostática ordinaria, puede aparecer solo mientras la tensión está cambiando, actuando para oponerse al cambio; y puede ser negativo.
El caso isotrópico newtoniano
En un medio newtoniano que es isotrópico (es decir, cuyas propiedades son las mismas en todas las direcciones), cada parte del tensor de tensión está relacionada con una parte correspondiente del tensor de velocidad de deformación.
donde E v y E s son el isótropo escalar y las partes de traza cero del tensor de velocidad de deformación E , y μ v y μ s son dos números reales. [2] Por lo tanto, en este caso, el tensor de viscosidad μ tiene solo dos parámetros independientes.
La parte de traza cero E s de E es un tensor simétrico de 3 × 3 que describe la velocidad a la que el medio se deforma por cizallamiento, ignorando cualquier cambio en su volumen. Por tanto, la parte ε s de ε sin trazas es el conocido esfuerzo cortante viscoso asociado a la deformación cortante progresiva . Es la tensión viscosa que se produce en el fluido que se mueve a través de un tubo con sección transversal uniforme (un flujo de Poiseuille ) o entre dos placas en movimiento paralelas (un flujo de Couette ) y resiste esos movimientos.
La parte E v de E actúa como un multiplicador escalar (como ε v ), la tasa de expansión promedio del medio alrededor del punto en cuestión. (Se representa en cualquier sistema de coordenadas por una matriz diagonal de 3 × 3 con valores iguales a lo largo de la diagonal.) Es numéricamente igual a1/3de la divergencia de la velocidad
que a su vez es la tasa relativa de cambio de volumen del fluido debido al flujo.
Por lo tanto, la parte escalar ε v de ε es una tensión que puede observarse cuando el material se comprime o expande a la misma velocidad en todas las direcciones. Se manifiesta como una presión adicional que aparece solo mientras se comprime el material, pero (a diferencia de la presión hidrostática verdadera) es proporcional a la tasa de cambio de compresión en lugar de la cantidad de compresión, y desaparece tan pronto como el volumen deja de cambiar.
Esta parte de la tensión viscosa, generalmente denominada viscosidad aparente o viscosidad volumétrica, es a menudo importante en materiales viscoelásticos y es responsable de la atenuación de las ondas de presión en el medio. La viscosidad aparente puede despreciarse cuando el material puede considerarse incompresible (por ejemplo, al modelar el flujo de agua en un canal).
El coeficiente μ v , a menudo denotado por η , se denomina coeficiente de viscosidad aparente (o "segunda viscosidad"); mientras que μ s es el coeficiente de viscosidad común (cizallamiento).
Ver también
- Ecuación de vorticidad
- Ecuaciones de Navier-Stokes
Referencias
- ↑ a b De Groot, S. R .; Mazur, P. (1984). Termodinámica de desequilibrio . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-64741-2.
- ^ Landau, L. D .; Lifshitz, E. M. (1997). Mecánica de fluidos . Traducido por Sykes, J. B .; Reid, W. H. (2ª ed.). Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2767-0.