Categoría de Waldhausen

En matemáticas , una categoría Waldhausen es una categoría C equipado con algunos datos adicionales, lo que hace posible la construcción de la teoría K espectro de C usando un denominado S-construcción . Lleva el nombre de Friedhelm Waldhausen , quien introdujo esta noción (bajo el término categoría con cofibraciones y equivalencias débiles ) para extender los métodos de la teoría K algebraica a categorías no necesariamente de origen algebraico, por ejemplo, la categoría de espacios topológicos .

Sea C una categoría, co ( C ) y nosotros ( C ) dos clases de morfismos en C , llamados cofibraciones y equivalencias débiles respectivamente. La triple ( C , co ( C ), we ( C )) se llama categoría de Waldhausen si satisface los siguientes axiomas, motivados por propiedades similares para las nociones de cofibraciones y equivalencias de homotopía débil de espacios topológicos:

Por ejemplo, si es una cofibración y es cualquier mapa, entonces debe existir un pushout , y el mapa natural debe ser una cofibración: ${\ Displaystyle \ scriptstyle A \, \ rightarrowtail \, B}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle A \, \ to \, C}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle B \, \ cup _ {A} \, C}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle C \, \ rightarrowtail \, B \, \ cup _ {A} \, C}$

En la teoría K algebraica y la teoría de la homotopía hay varias nociones de categorías equipadas con algunas clases específicas de morfismos. Si C tiene una estructura de una categoría exacta , a continuación, mediante la definición de que ( C ) a ser isomorfismos, CO ( C ) para ser monomorfismos admisibles, se obtiene una estructura de una categoría Waldhausen en C . Ambos tipos de estructura pueden usarse para definir la teoría K de C , usando la construcción Q para una estructura exacta y la construcción S para una estructura de Waldhausen. Un hecho importante es que los espacios resultantes de la teoría K son equivalentes de homotopía.

Si C es una categoría de modelo con un objeto cero, entonces la subcategoría completa de objetos cofibrantes en C puede recibir una estructura de Waldhausen.

La construcción S de Waldhausen produce a partir de una categoría C de Waldhausen una secuencia de complejos Kan , que forma un espectro . Deje que denotan el espacio de bucle de la realización geométrica de . Entonces el grupo ${\ Displaystyle S_ {n} (C)}$ ${\ Displaystyle K (C)}$ ${\ Displaystyle | S _ {*} (C) |}$ ${\ Displaystyle S _ {*} (C)}$