En teoría de números , un número primo de Wall-Sun-Sun o de Fibonacci-Wieferich es un cierto tipo de número primo que se conjetura que existe, aunque no se conoce ninguno.
Lleva el nombre de | Donald Dines Wall , Zhi Hong Sun y Zhi Wei Sun |
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Año de publicación | 1992 |
No. de términos conocidos | 0 |
Conjeturado que no. de términos | Infinito |
Definición
Dejar ser un número primo. Cuando cada término en la secuencia de números de Fibonacci se reduce modulo , el resultado es una secuencia periódica . La duración (mínima) del período de esta secuencia se denomina período Pisano y se denota. Desde, se deduce que p divide . Un primo p tal que p 2 dividese llama un primo Muro-Sol-Sol .
Definiciones equivalentes
Si denota el rango de módulo de aparición (es decir, es el índice positivo más pequeño tal que divide ), entonces un primo Muro-Sol-Sol se puede definir de manera equivalente como un primo tal que divide .
Para un primo p ≠ 2, 5, el rango de aparición se sabe que divide , donde el símbolo de Legendre tiene los valores
Esta observación da lugar a una caracterización equivalente de los números primos Muro-Sol-Sol como primos tal que divide el número de Fibonacci . [1]
Un primo es un primo Muro-Sol-Sol si y solo si .
Un primo es un primo Muro-Sol-Sol si y solo si , dónde es el -ésimo número de Lucas . [2] : 42
McIntosh y Roettger establecen varias caracterizaciones equivalentes de los números primos de Lucas-Wieferich . [3] En particular, dejemos; Entonces los siguientes son equivalentes:
Existencia
¿Hay números primos Muro-Sol-Sol? Si es así, ¿hay un número infinito de ellos?
En un estudio del período Pisano , Donald Dines Wall determinó que no hay primos Wall-Sun-Sun inferiores a. En 1960, escribió: [4]
El problema más desconcertante que hemos encontrado en este estudio se refiere a la hipótesis . Hemos realizado una prueba en una computadora digital que muestra que para todos hasta ; sin embargo, no podemos probar quees imposible. La pregunta está estrechamente relacionada con otra, "¿puede un número tener el mismo orden mod y mod ? ", para los cuales casos raros dan una respuesta afirmativa (p. ej., ; ); por lo tanto, uno podría conjeturar que la igualdad puede ser válida para algunos.
Desde entonces se ha conjeturado que hay infinitos números primos Muro-Sol-Sol. [5] No se conocen números primos Muro-Sol-Sol a partir de diciembre de 2020.[actualizar].
En 2007, Richard J. McIntosh y Eric L. Roettger demostraron que, si existen, deben ser> 2 × 10 14 . [3] Dorais y Klyve ampliaron este rango a 9,7 × 10 14 sin encontrar tal prima. [6]
En diciembre de 2011, el proyecto PrimeGrid inició otra búsqueda , [7] sin embargo, se suspendió en mayo de 2017. [8] En noviembre de 2020, PrimeGrid inició otro proyecto que busca números primos Wieferich y Wall – Sun – Sun simultáneamente. [9] A diciembre de 2020[actualizar], su borde de ataque ha terminado . [10]
Historia
Los números primos Wall-Sun-Sun llevan el nombre de Donald Dines Wall , [4] [11] Zhi Hong Sun y Zhi Wei Sun ; ZH Sun y ZW Sun demostraron en 1992 que si el primer caso del último teorema de Fermat era falso para un cierto primo p , entonces p tendría que ser un primo Muro-Sol-Sol. [12] Como resultado, antes de la demostración de Andrew Wiles del último teorema de Fermat, la búsqueda de números primos Muro-Sol-Sol también fue la búsqueda de un contraejemplo potencial para esta conjetura centenaria .
Generalizaciones
Un primo de tribonacci-Wieferich es un primo p que satisface h ( p ) = h ( p 2 ) , donde h es el número entero menos positivo que satisface [ T h , T h +1 , T h +2 ] ≡ [ T 0 , T 1 , T 2 ] (mod m ) y T n denota el n - ésimo número de tribonacci . No existe ningún primo de tribonacci-Wieferich por debajo de 10 11 . [13]
Un primo de Pell-Wieferich es un primo p que satisface p 2 divide a P p −1 , cuando p es congruente con 1 o 7 (mod 8), o p 2 divide a P p +1 , cuando p es congruente con 3 o 5 (mod 8) , donde P n denota el n -ésimo número Pell . Por ejemplo, 13, 31 y 1546463 son números primos de Pell-Wieferich y ningún otro por debajo de 10 9 (secuencia A238736 en la OEIS ). De hecho, los números primos Pell-Wieferich son números primos 2-Wall-Sun-Sun.
Primos Near-Wall-Sun-Sun
Un primo p tal quecon pequeño | A | se llama prima cercana a la pared-sol-sol . [3] Los números primos Cerca-Pared-Sol-Sol con A = 0 serían los primos Pared-Sol-Sol.
Primos Muro-Sol-Sol con discriminante D
Los números primos Muro-Sol-Sol se pueden considerar para el campo con discriminante D . Para los primos convencionales Muro-Sol-Sol, D = 5. En el caso general, un primo p de Lucas-Wieferich asociado con ( P , Q ) es un primo de Wieferich a la base Q y un primo de Muro-Sol-Sol con discriminante D = P 2 - 4 Q . [1] En esta definición, el primer p debe ser extraño y no dividir D .
Se conjetura que para cada número natural D , hay infinitos números primos Wall-Sun-Sun con discriminante D .
El caso de corresponde a los primos k -Wall-Sun-Sun , para los cuales los primos Wall-Sun-Sun representan el caso especial k = 1. Los primos k -Wall-Sun-Sun se pueden definir explícitamente como primos p de tal manera que p 2 divide el k -Número de Fibonacci, donde F k ( n ) = U n ( k , −1) es una secuencia de Lucas del primer tipo con discriminante D = k 2 + 4 yes el período Pisano de los números k -Fibonacci módulo p . [14] Para un primo p ≠ 2 y sin dividir D , esta condición es equivalente a cualquiera de las siguientes.
- p 2 divide, dónde es el símbolo de Kronecker ;
- V p ( k , −1) ≡ k (mod p 2 ), donde V n ( k , −1) es una secuencia de Lucas del segundo tipo.
Los primos k -Wall-Sun-Sun más pequeños para k = 2, 3, ... son
- 13, 241, 2, 3, 191, 5, 2, 3, 2683, ... (secuencia A271782 en la OEIS )
k | parte libre cuadrada de D ( OEIS : A013946 ) | k -Primos de pared-sol-sol | notas |
---|---|---|---|
1 | 5 | ... | No se conoce ninguno. |
2 | 2 | 13, 31, 1546463, ... | |
3 | 13 | 241, ... | |
4 | 5 | 2, 3, ... | Dado que este es el segundo valor de k para el cual D = 5, los primos k -Wall-Sun-Sun incluyen los factores primos de 2 * 2−1 que no dividen 5. Dado que k es divisible por 4, 2 es a k -Primera parte de Wall – Sun – Sun. |
5 | 29 | 3, 11, ... | |
6 | 10 | 191, 643, 134339, 25233137, ... | |
7 | 53 | 5, ... | |
8 | 17 | 2, ... | Como k es divisible por 4, 2 es un primo de k -Wall-Sun-Sun. |
9 | 85 | 3, 204520559, ... | |
10 | 26 | 2683, 3967, 18587, ... | |
11 | 5 | ... | Dado que este es el tercer valor de k para el cual D = 5, los primos k -Wall-Sun-Sun incluyen los factores primos de 2 * 3−1 que no dividen a 5. |
12 | 37 | 2, 7, 89, 257, 631, ... | Como k es divisible por 4, 2 es un primo de k -Wall-Sun-Sun. |
13 | 173 | 3, 227, 392893, ... | |
14 | 2 | 3, 13, 31, 1546463, ... | Dado que este es el segundo valor de k para el cual D = 2, los primos k -Wall-Sun-Sun incluyen los factores primos de 2 * 2−1 que no dividen a 2. |
15 | 229 | 29, 4253, ... | |
dieciséis | sesenta y cinco | 2, 1327, 8831, 569831, ... | Como k es divisible por 4, 2 es un primo de k -Wall-Sun-Sun. |
17 | 293 | 1192625911, ... | |
18 | 82 | 3, 5, 11, 769, 256531, 624451181, ... | |
19 | 365 | 11, 233, 165083, ... | |
20 | 101 | 2, 7, 19301, ... | Como k es divisible por 4, 2 es un primo de k -Wall-Sun-Sun. |
21 | 445 | 23, 31, 193, ... | |
22 | 122 | 3, 281, ... | |
23 | 533 | 3, 103, ... | |
24 | 145 | 2, 7, 11, 17, 37, 41, 1319, ... | Como k es divisible por 4, 2 es un primo de k -Wall-Sun-Sun. |
25 | 629 | 5, 7, 2687, ... | |
26 | 170 | 79, ... | |
27 | 733 | 3, 1663, ... | |
28 | 197 | 2, 1431615389, ... | Como k es divisible por 4, 2 es un primo de k -Wall-Sun-Sun. |
29 | 5 | 7, ... | Dado que este es el cuarto valor de k para el cual D = 5, los primos k -Wall-Sun-Sun incluyen los factores primos de 2 * 4−1 que no dividen a 5. |
30 | 226 | 23, 1277, ... |
D | Primos Muro-Sol-Sol con discriminante D (marcado hasta 10 9 ) | Secuencia OEIS |
---|---|---|
1 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (Todos los primos impares) | A065091 |
2 | 13, 31, 1546463, ... | A238736 |
3 | 103, 2297860813, ... | A238490 |
4 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (Todos los primos impares) | |
5 | ... | |
6 | (3), 7, 523, ... | |
7 | ... | |
8 | 13, 31, 1546463, ... | |
9 | (3), 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (Todos los primos impares) | |
10 | 191, 643, 134339, 25233137, ... | |
11 | ... | |
12 | 103, 2297860813, ... | |
13 | 241, ... | |
14 | 6707879, 93140353, ... | |
15 | (3), 181, 1039, 2917, 2401457, ... | |
dieciséis | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (Todos los primos impares) | |
17 | ... | |
18 | 13, 31, 1546463, ... | |
19 | 79, 1271731, 13599893, 31352389, ... | |
20 | ... | |
21 | 46179311, ... | |
22 | 43, 73, 409, 28477, ... | |
23 | 7, 733, ... | |
24 | 7, 523, ... | |
25 | 3, (5), 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (Todos los primos impares) | |
26 | 2683, 3967, 18587, ... | |
27 | 103, 2297860813, ... | |
28 | ... | |
29 | 3, 11, ... | |
30 | ... |
Ver también
- Wieferich prime
- Wolstenholme prime
- Wilson prime
- PrimeGrid
- Fibonacci prima
- Período pisano
- Tabla de congruencias
Referencias
- ^ a b A.-S. Elsenhans, J. Jahnel (2010). "La secuencia de Fibonacci módulo p 2 - Una investigación por computadora para p <10 14 ". arXiv : 1006.0824 [ matemáticas.NT ].
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( ayuda ) - ^ Proyecto Wall – Sun – Sun Prime Search en PrimeGrid
- ^ [1] en PrimeGrid
- ^ Tableros de mensajes: Wieferich y Wall-Sun-Sun Prime Search en PrimeGrid
- ^ Estado del subproyecto en PrimeGrid
- ^ Crandall, R .; Dilcher, k .; Pomerance, C. (1997). "Una búsqueda de primos de Wieferich y Wilson". 66 : 447. Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ Sun, Zhi-Hong; Sun, Zhi-Wei (1992), "Los números de Fibonacci y el último teorema de Fermat" (PDF) , Acta Arithmetica , 60 (4): 371–388, doi : 10.4064 / aa-60-4-371-388
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- ^ S. Falcon, A. Plaza (2009). " k -secuencia de Fibonacci módulo m ". Caos, solitones y fractales . 41 (1): 497–504. Código bibliográfico : 2009CSF .... 41..497F . doi : 10.1016 / j.chaos.2008.02.014 .
Otras lecturas
- Crandall, Richard E .; Pomerance, Carl (2001). Números primos: una perspectiva computacional . Saltador. pag. 29 . ISBN 0-387-94777-9.
- Saha, Arpan; Karthik, CS (2011). "Algunas equivalencias de la conjetura de Wall-Sun-Sun Prime". arXiv : 1102.1636 [ matemáticas.NT ].
enlaces externos
- Chris Caldwell, The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime en Prime Pages .
- Weisstein, Eric W. "Wall-Sun-Sun prime" . MathWorld .
- Richard McIntosh, Estado de la búsqueda de números primos Muro-Sol-Sol (octubre de 2003)
- Secuencia OEIS A000129 (Primas p que dividen sus cocientes Pell, donde el cociente Pell de p es A000129 (p - (2 / p)) / py (2 / p) es un símbolo de Jacobi)