En matemáticas , un mapa lineal es un mapeo X → Y entre dos módulos (incluidos los espacios vectoriales ) que conserva las operaciones de suma y multiplicación escalar .
Al estudiar los mapas lineales entre dos módulos, se puede obtener información sobre sus estructuras. Si los módulos tienen estructura adicional, como topologías o bornologías , entonces se puede estudiar el subespacio de mapas lineales que preservan esta estructura.
Topologías de convergencia uniforme en espacios arbitrarios de mapas
En todo momento asumimos lo siguiente:
- T es cualquier conjunto no vacío y 𝒢 es una colección no vacía de subconjuntos de T dirigidos por inclusión de subconjuntos (es decir, para cualquier G , H ∈ 𝒢 existe algo de K ∈ 𝒢 tal que G ∪ H ⊆ K ).
- Y es un espacio vectorial topológico (no necesariamente Hausdorff o localmente convexa) y 𝒩 es una base de barrios de 0 en Y .
- Y T denota el conjunto de todos los Y -valued funciones con dominio T .
- F es un subespacio vectorial de Y T (que no necesariamente consta de mapas lineales).
- Definición y notación : Para cualquier subconjunto G de X y N de Y , sea
- " 𝒰 ( G , N ): = { f ∈ F : f ( G ) ⊆ N }.
Barrios básicos en el origen
De ahora en adelante suponga que G ∈ 𝒢 y N ∈ 𝒩 .
- Propiedades
- 𝒰 ( G , N ) es un subconjunto absorbente de F si y solo si para todo f ∈ F , N absorbe f ( G ) . [1]
- Si N está equilibrado, entonces también lo está 𝒰 ( G , N ) . [1]
- Si N es convexo, entonces también lo es 𝒰 ( G , N ) .
- Relaciones algebraicas
- Para cualquier escalar s , s 𝒰 ( G , N ) = 𝒰 ( G , sN ) ; entonces, en particular, -𝒰 ( G , N ) = 𝒰 ( G , - N ) . [1]
- 𝒰 ( G ∪ H , M ∩ N ) ⊆ 𝒰 ( G , M ) ∩ 𝒰 ( H , N ) para cualquier subconjuntos G y H de X y subconjuntos no vacíos M y N de Y . [2] Así:
- Si M ⊆ N entonces 𝒰 ( G , M ) ⊆ 𝒰 ( G , N ) . [1]
- Si G ⊆ H entonces 𝒰 ( H , N ) ⊆ 𝒰 ( G , N ) .
- Para cualquier M , N ∈ 𝒩 y subconjuntos G , H , K de T , si G ∪ H ⊆ K entonces 𝒰 ( K , M ∩ N ) ⊆ 𝒰 ( G , M ) ∩ 𝒰 ( H , N ) .
- 𝒰 (∅, N ) = F .
- 𝒰 ( Sol , N ) - 𝒰 ( Sol , N ) ⊆ 𝒰 ( Sol , N - N ) . [3]
- 𝒰 ( G , M ) + 𝒰 ( G , N ) ⊆ 𝒰 ( G , M + N ) . [2]
- Para cualquier familia 𝒮 de subconjuntos de T , 𝒰 ( S , N ) =𝒰 ( S , N ) . [3]
- Para cualquier familia ℳ de vecindarios de 0 en Y , 𝒰 ( G , M ) =𝒰 ( G , M ) . [3]
𝒢 -topología
Entonces el conjunto {𝒰 ( G , N ): G ∈ 𝒢, N ∈ 𝒩 } forma una base de vecindad [4] en el origen de una topología invariante de traducción única en F , donde esta topología no es necesariamente una topología vectorial (es decir, puede que no convierta F en un TV). Esta topología no depende de la base de vecindad 𝒩 que se eligió y se conoce como la topología de convergencia uniforme en los conjuntos en 𝒢 o como la topología 𝒢 . [5] Sin embargo, este nombre se cambia con frecuencia según los tipos de conjuntos que componen 𝒢 (por ejemplo, la "topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos" o la "topología de convergencia compacta", consulte la nota al pie para obtener más detalles [6] ).
Se dice que un subconjunto 𝒢 1 de 𝒢 es fundamental con respecto a 𝒢 si cada G ∈ 𝒢 es un subconjunto de algún elemento en 𝒢 1 . En este caso, la colección 𝒢 puede ser sustituido por 𝒢 1 sin cambiar la topología en F . [5] También se puede sustituir 𝒢 con la colección de todos los subconjuntos de todas las uniones finitas de elementos de 𝒢 sin cambiar la resultante 𝒢 -topology en F . [3]
- Definición : [2] Call un subconjunto B de T F -bounded si f ( B ) es un subconjunto acotado de Y para cada f ∈ F .
Teorema [5] [2] - La topología 𝒢 en F es compatible con la estructura del espacio vectorial de F si y solo si todo G ∈ 𝒢 está limitado por F ; es decir, si y sólo si para cada G ∈ 𝒢 y cada f ∈ F , f ( G ) está delimitada en Y .
Redes y convergencia uniforme
- Definición : [2] Sea f ∈ F y dejar que f • = ( f i ) i ∈ I ser una red en F . Entonces, para cualquier subconjunto G de T , digamos que f • converge uniformemente af en G si para cada N ∈ 𝒩 existe algo i 0 ∈ I tal que para cada i ∈ I que satisfaga i ≥ i 0 , f i - f ∈ 𝒰 ( G , N ) (o equivalentemente, f i ( g ) - f ( g ) ∈ N para cada g ∈ G ).
Teorema [2] - Si f ∈ F y si f • = ( f i ) i ∈ I es una red en F , entonces f • → f en la topología 𝒢 en F si y solo si para todo G ∈ 𝒢 , f • converge uniformemente a f en G .
Propiedades heredadas
- Convexidad local
Si Y es localmente convexa, entonces también lo es la topología 𝒢 en F y si ( p i ) i ∈ I es una familia de seminormas continuas que generan esta topología en Y, entonces la topología 𝒢 es inducida por la siguiente familia de seminormas:
- p G , yo ( f ) =p yo ( f ( x )) ,
como G varía en el 𝒢 y i varía con el I . [7]
- Hausdorffness
Si Y es Hausdorff y T = G entonces la topología 𝒢 en F es Hausdorff. [2]
Supongamos que T es un espacio topológico. Si Y es Hausdorff y F es el subespacio vectorial de Y T que consta de todos los mapas continuos que están delimitados en cada G ∈ 𝒢 y si G es denso en T, entonces la topología 𝒢 en F es Hausdorff.
- Delimitación
Un subconjunto H de F está acotado en la topología 𝒢 si y solo si para cada G ∈ 𝒢 , H ( G ): = h ( G ) está delimitada en Y . [7]
Ejemplos de topologías 𝒢
- Convergencia puntual
Si dejamos que 𝒢 sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de T, entonces la topología 𝒢 en F se denomina topología de convergencia puntual . La topología de convergencia puntual en F es idéntica a la topología subespacial que F hereda de Y T cuando Y T está dotado de la topología de producto habitual .
Si X es un espacio topológico de Hausdorff no trivial completamente regular y C ( X ) es el espacio de todas las funciones continuas de valor real (o complejo) en X , la topología de la convergencia puntual en C ( X ) es metrizable si y solo si X es contable. [2]
𝒢-topologías en espacios de mapas lineales continuos
A lo largo de esta sección asumiremos que X e Y son espacios vectoriales topológicos . 𝒢 será una colección no vacía de subconjuntos de X dirigidos por inclusión.
- Notación : L ( X ; Y ) denotará el espacio vectorial de todos los mapas lineales continuas de X en Y . Si a L ( X ; Y ) se le da la topología 𝒢 heredada de Y X, entonces este espacio con esta topología se denota por L 𝒢 ( X , Y ) .
- Notación : El espacio dual continuo de un espacio vectorial topológico X sobre el campo 𝔽 (que asumiremos que son números reales o complejos ) es el espacio vectorial L ( X ; 𝔽) y se denota por X ' .
La topología 𝒢 en L ( X ; Y ) es compatible con la estructura del espacio vectorial de L ( X ; Y ) si y solo si para todo G ∈ 𝒢 y todo f ∈ L ( X ; Y ) el conjunto f ( G ) está acotado en Y , que asumiremos que es el caso para el resto del artículo. Nota en particular, que este es el caso si 𝒢 consiste en (von-Neumann) delimitadas subconjuntos de X .
Supuestos sobre 𝒢
- Supuestos que garantizan una topología vectorial
- Supuesto ( 𝒢 está dirigido): 𝒢 será una colección no vacía de subconjuntos de X dirigidos por (subconjunto) inclusión. Esto es, para cualquier G , H ∈ 𝒢 , existe K ∈ 𝒢 tal que G ∪ H ⊆ K .
La suposición anterior garantiza que la colección de conjuntos 𝒰 ( G , N ) forma una base de filtro . La siguiente suposición garantizará que los conjuntos 𝒰 ( G , N ) estén equilibrados . Cada TV tiene una base de vecindario en 0 que consta de conjuntos equilibrados, por lo que esta suposición no es molesta.
- Supuesto ( N ∈ 𝒩 están equilibrados): 𝒩 es una base de vecindad de 0 en Y que consiste en su totalidad en conjuntos equilibrados .
La siguiente suposición se realiza con mucha frecuencia porque garantizará que cada conjunto 𝒰 ( G , N ) absorba en L ( X ; Y ) .
- Supuesto ( G ∈ 𝒢 están delimitada): 𝒢 se supone que consistir enteramente de subconjuntos acotados de X .
- Otros supuestos posibles
El siguiente teorema da formas en que 𝒢 puede ser modificado sin cambiar el resultante 𝒢 -topology en Y .
Teorema [1] - Let 𝒢 ser una colección no vacía de subconjuntos acotados de X . Entonces, la topología 𝒢 en L ( X ; Y ) no se altera si 𝒢 se reemplaza por cualquiera de las siguientes colecciones de subconjuntos (también acotados) de X :
- todos los subconjuntos de todas las uniones finitas de conjuntos en 𝒢 ;
- todos los múltiplos escalares de todos los conjuntos en 𝒢 ;
- todas las sumas finitas de conjuntos de Minkowski en 𝒢 ;
- el casco equilibrado de cada conjunto en 𝒢 ;
- el cierre de cada set en 𝒢 ;
y si X e Y son localmente convexos, entonces podemos agregar a esta lista:
- el casco cerrado convexo equilibrado de cada conjunto en 𝒢 .
- Supuestos comunes
Algunos autores (por ejemplo, Narici) requieren que 𝒢 satisfaga la siguiente condición, lo que implica, en particular, que 𝒢 está dirigido por la inclusión de subconjuntos:
- Se supone que 𝒢 es cerrado con respecto a la formación de subconjuntos de uniones finitas de conjuntos en 𝒢 (es decir, cada subconjunto de cada unión finita de conjuntos en 𝒢 pertenece a 𝒢 ).
Algunos autores (por ejemplo, Trèves) requieren que 𝒢 se dirija bajo la inclusión de subconjuntos y que satisfaga la siguiente condición:
- Si G ∈ 𝒢 y s es un escalar entonces existe un H ∈ 𝒢 tal que sG ⊆ H .
Si 𝒢 es una bornología en X , que suele ser el caso, entonces se cumplen estos axiomas. Si 𝒢 es una familia saturada de subconjuntos acotados de X , estos axiomas también se satisfacen.
Propiedades
- Hausdorffness
- Definición : [8] Si T es un TVS, entonces decimos que 𝒢 es total en T si el tramo lineal de G es denso en T .
Si F es el subespacio vectorial de Y T que consiste en todos los mapas lineales continuas que están delimitadas en cada G ∈ 𝒢 , entonces el 𝒢 -topology en F es Hausdorff si Y es Hausdorff y 𝒢 es total en T . [1]
- Lo completo
Para los siguientes teoremas, suponga que X es un espacio vectorial topológico e Y es un espacio de Hausdorff localmente convexo y 𝒢 es una colección de subconjuntos acotados de X que cubre X , está dirigido por inclusión de subconjuntos y satisface la siguiente condición: si G ∈ 𝒢 y s es un escalar entonces existe un H ∈ 𝒢 tal que sG ⊆ H .
- L 𝒢 ( X ; Y ) está completo si
- X es localmente convexa y Hausdorff,
- Y está completo y
- siempre que u : X → Y es un mapa lineal, entonces u restringido a cada conjunto G ∈ 𝒢 es continuo implica que u es continuo,
- Si X es un espacio de Mackey, entonces L 𝒢 ( X ; Y ) está completo si y solo si ambose Y están completos.
- Si X tiene un cañón, entonces L 𝒢 ( X ; Y ) es Hausdorff y casi completo .
- Sean X e Y TVS con Y cuasi-completo y suponga que (1) X es un cañón , o bien (2) X es un espacio de Baire y X e Y son localmente convexos. Si 𝒢 cubre X, entonces cada subconjunto equicontinuo cerrado de L ( X ; Y ) está completo en L 𝒢 ( X ; Y ) y L 𝒢 ( X ; Y ) es casi completo. [9]
- Sea X un espacio bornológico , Y un espacio localmente convexo y 𝒢 una familia de subconjuntos acotados de X tal que el rango de cada secuencia nula en X esté contenido en algún G ∈ 𝒢 . Si Y es cuasi-completo (resp. Completo), entonces también lo es L 𝒢 ( X ; Y ) . [10]
- Delimitación
Sean X e Y espacios vectoriales topológicos y H un subconjunto de L ( X ; Y ) . Entonces los siguientes son equivalentes: [7]
- H está acotado en L 𝒢 ( X ; Y ) ;
- Para cada G ∈ 𝒢 , H ( G ): = h ( G ) está acotado en Y ; [7]
- Para cada vecindario V de 0 en Y, el conjunto h −1 ( V ) absorbe cada G ∈ 𝒢 .
Además,
- Si X e Y son localmente convexos en el espacio de Hausdorff y si H está acotado en L 𝜎 ( X ; Y ) (es decir, acotado puntualmente o simplemente acotado), entonces está acotado en la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos, equilibrados, acotados y completos de X . [11]
- Si X e Y son espacios de Hausdorff localmente convexos y si X es casi completo (es decir, los subconjuntos cerrados y acotados están completos), entonces los subconjuntos acotados de L ( X ; Y ) son idénticos para todas las topologías top donde 𝒢 es cualquier familia de subconjuntos acotados de X cubriendo X . [11]
- Si 𝒢 es cualquier colección de subconjuntos acotados de X cuya unión es total en X, entonces cada subconjunto equicontinuo de L ( X ; Y ) está acotado en la topología 𝒢. [9]
Ejemplos de
𝒢 ⊆ 𝒫 ( X ) ("topología de convergencia uniforme en ...") | Notación | Nombre ("topología de ...") | nombre alternativo |
---|---|---|---|
subconjuntos finitos de X | L σ ( X ; Y ) | puntual / convergencia simple | topología de convergencia simple |
subconjuntos precompactos de X | convergencia precompacta | ||
subconjuntos convexos compactos de X | L γ ( X ; Y ) | convergencia convexa compacta | |
subconjuntos compactos de X | L c ( X ; Y ) | convergencia compacta | |
subconjuntos acotados de X | L b ( X ; Y ) | convergencia acotada | topología fuerte |
La topología de la convergencia puntual L σ ( X ; Y )
Al dejar que 𝒢 sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de X , L ( X ; Y ) tendrá la topología débil en L ( X ; Y ) o la topología de convergencia puntual o la topología de convergencia simple y L ( X ; Y ) con esta topología se denota por L 𝜎 ( X ; Y ) . Desafortunadamente, esta topología a veces también se denomina topología de operador fuerte , lo que puede generar ambigüedad; [1] por esta razón, este artículo evitará referirse a esta topología con este nombre.
- Definición : Un subconjunto de L ( X ; Y ) se llama simplemente acotado o débilmente acotado si está acotado en L 𝜎 ( X ; Y ) .
La topología débil en L ( X ; Y ) tiene las siguientes propiedades:
- Si X es separable (es decir, tiene un subconjunto denso contable) y si Y es un espacio vectorial topológico metrizable, entonces cada subconjunto equicontinuo H de L 𝜎 ( X ; Y ) es metrizable; si además Y es separable entonces también lo es H . [12]
- Entonces, en particular, en cada subconjunto equicontinuo de L ( X ; Y ) , la topología de la convergencia puntual es metrizable.
- Let Y X denota el espacio de todas las funciones de X en Y . Si L ( X ; Y ) se da la topología de convergencia puntual entonces el espacio de todos los mapas lineales (continuos o no) X en Y es cerrado en Y X .
- Además, L ( X ; Y ) es denso en el espacio de todos los mapas lineales (continuos o no) X en Y .
- Suponga que X e Y son localmente convexos. Cualquier subconjunto simplemente delimitada de L ( X ; Y ) está delimitada cuando L ( X ; Y ) tiene la topología de la convergencia uniforme sobre convexa, balanceadas , limitado, subconjuntos completos de X . Si además X es cuasi-completa a continuación, las familias de subconjuntos delimitadas de L ( X ; Y ) son idénticos para todos 𝒢 -topologies en L ( X ; Y ) de tal manera que 𝒢 es una familia de conjuntos acotados cubren X . [11]
- Subconjuntos equicontinuos
- El cierre débil de un subconjunto equicontinuo de L ( X ; Y ) es equicontinuo.
- Si Y es localmente convexo, entonces el casco convexo equilibrado de un subconjunto equicontinuo de L ( X ; Y ) es equicontinuo.
- Sean X e Y TVS y suponga que (1) X es un cañón , o bien (2) X es un espacio de Baire y X e Y son localmente convexos. Entonces, cada subconjunto simplemente acotado de L ( X ; Y ) es equicontinuo. [9]
- En un subconjunto equicontinuo H de L ( X ; Y ) , las siguientes topologías son idénticas: (1) topología de convergencia puntual en un subconjunto total de X ; (2) la topología de la convergencia puntual; (3) la topología de la convergencia precompacta. [9]
Convergencia compacta L c ( X ; Y )
Al dejar que 𝒢 sea el conjunto de todos los subconjuntos compactos de X , L ( X ; Y ) tendrá la topología de convergencia compacta o la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos y L ( X ; Y ) con esta topología se denota por L c ( X ; Y ) .
La topología de convergencia compacta en L ( X ; Y ) tiene las siguientes propiedades:
- Si X es un espacio de Fréchet o un espacio LF y si Y es un espacio de Hausdorff localmente convexo completo , entonces L c ( X ; Y ) está completo.
- En subconjuntos equicontinuos de L ( X ; Y ) , las siguientes topologías coinciden:
- La topología de la convergencia puntual en un subconjunto denso de X ,
- La topología de la convergencia puntual en X ,
- La topología de la convergencia compacta.
- La topología de la convergencia precompacta.
- Si X es un espacio de Montel e Y es un espacio vectorial topológico, entonces L c ( X ; Y ) y L b ( X ; Y ) tienen topologías idénticas.
Topología de convergencia acotada L b ( X ; Y )
Al dejar que 𝒢 sea el conjunto de todos los subconjuntos acotados de X , L ( X ; Y ) tendrá la topología de convergencia acotada en X o la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados y L ( X ; Y ) con esta topología se denota por L b ( X ; Y ) . [1]
La topología de convergencia acotada en L ( X ; Y ) tiene las siguientes propiedades:
- Si X es un espacio bornológico y si Y es un espacio de Hausdorff localmente convexo completo , entonces L b ( X ; Y ) está completo.
- Si X e Y son espacios normativos, entonces la topología en L ( X ; Y ) inducida por la norma del operador habitual es idéntica a la topología en L b ( X ; Y ) . [1]
- En particular, si X es un espacio normado, entonces la topología de norma habitual en el espacio dual continuo X ' es idéntica a la topología de convergencia acotada en X ' .
- Cada subconjunto equicontinuo de L ( X ; Y ) está acotado en L b ( X ; Y ) .
Topologías polares
En todo momento, asumimos que X es un televisor.
𝒢 -topologías versus topologías polares
Si X es un TVS cuyos subconjuntos delimitados son exactamente los mismos que sus subconjuntos delimitados débilmente (por ejemplo, si X es un espacio localmente convexo de Hausdorff), entonces una topología on en X ' (como se define en este artículo) es una topología polar y viceversa , toda topología polar si es una topología 𝒢. En consecuencia, en este caso los resultados mencionados en este artículo se pueden aplicar a topologías polares.
Sin embargo, si X es un TVS cuyos subconjuntos acotados no son exactamente iguales a sus subconjuntos delimitados débilmente , entonces la noción de "acotado en X " es más fuerte que la noción de " σ ( X , X ' ) -acotado en X " ( es decir, acotado en X implica σ ( X , X ' ) ( acotado en X ) de modo que una topología 𝒢 en X ' (como se define en este artículo) no es necesariamente una topología polar. Una diferencia importante es que las topologías polares siempre son localmente convexas, mientras que las topologías 𝒢 no tienen por qué serlo.
Las topologías polares tienen resultados más sólidos que las topologías más generales de convergencia uniforme descritas en este artículo y remitimos la lectura al artículo principal: topología polar . Enumeramos aquí algunas de las topologías polares más comunes.
Lista de topologías polares
Suponga que X es un TVS cuyos subconjuntos delimitados son los mismos que sus subconjuntos delimitados débilmente.
- Notación : Si 𝛥 ( Y , X ) denota una topología polar en Y, entonces Y dotado de esta topología se indicará con Y 𝛥 ( Y , X ) o simplemente Y 𝛥 (por ejemplo, para σ ( Y , X ) tendríamos 𝛥 = σ de modo que Y σ ( Y , X ) e Y σ todos denotan Y con dotado de σ ( Y , X ) ).
𝒢 ⊆ 𝒫 ( X ) ("topología de convergencia uniforme en ...") | Notación | Nombre ("topología de ...") | nombre alternativo |
---|---|---|---|
subconjuntos finitos de X | σ ( Y , X ) s ( Y , X ) | puntual / convergencia simple | topología débil / débil * |
σ ( X , Y ) -compact discos | τ ( Y , X ) | Topología de Mackey | |
σ ( X , Y ) -subconjuntos convexos compactos | γ ( Y , X ) | convergencia convexa compacta | |
σ ( X , Y ) -subconjuntos compactos (o subconjuntos balanceados σ ( X , Y ) -compactos) | c ( Y , X ) | convergencia compacta | |
subconjuntos delimitados por σ ( X , Y ) | b ( Y , X ) 𝛽 ( Y , X ) | convergencia acotada | topología fuerte |
𝒢-ℋ -topologías en espacios de mapas bilineales
Dejaremos que ℬ ( X , Y ; Z ) denote el espacio de mapas bilineales continuos por separado y B ( X , Y ; Z ) denote el espacio de mapas bilineales continuos, donde X , Y y Z son espacios vectoriales topológicos sobre el mismo campo (ya sea los números reales o complejos). De forma análoga a cómo colocamos una topología en L ( X ; Y ) podemos colocar una topología en ℬ ( X , Y ; Z ) y B ( X , Y ; Z ) .
Sea 𝒢 (resp. ℋ ) una familia de subconjuntos de X (resp. Y ) que contiene al menos un conjunto no vacío. Sea 𝒢 × ℋ la colección de todos los conjuntos G × H donde G ∈ 𝒢 , H ∈ ℋ . Podemos colocar en Z X × Y la topología 𝒢 × ℋ , y consecuentemente en cualquiera de sus subconjuntos, en particular en B ( X , Y ; Z ) y en ℬ ( X , Y ; Z ) . Esta topología se conoce como el 𝒢-ℋ -topology o como la topología de la convergencia uniforme en los productos G × H de 𝒢 × ℋ .
Sin embargo, como antes, esta topología no es necesariamente compatible con la estructura del espacio vectorial de ℬ ( X , Y ; Z ) o de B ( X , Y ; Z ) sin el requisito adicional de que para todos los mapas bilineales, b en este espacio ( es decir, en ℬ ( X , y ; Z ) o en B ( X , y ; Z ) ) y para todos G ∈ 𝒢 y H ∈ ℋ , el conjunto B ( G , H ) está delimitada en X . Si tanto 𝒢 como ℋ consisten en conjuntos acotados, este requisito se satisface automáticamente si estamos topologizando B ( X , Y ; Z ), pero este puede no ser el caso si estamos tratando de topologizar ℬ ( X , Y ; Z ) . La topología 𝒢-ℋ en ℬ ( X , Y ; Z ) será compatible con la estructura del espacio vectorial de ℬ ( X , Y ; Z ) si tanto 𝒢 como ℋ constan de conjuntos acotados y se cumple alguna de las siguientes condiciones:
- X e Y son espacios en barril y Z es localmente convexo.
- X es un espacio F , Y es metrizable y Z es Hausdorff, en cuyo caso ℬ ( X , Y ; Z ) = B ( X , Y ; Z ) .
- X , Y y Z son los duales fuertes de los espacios reflexivos de Fréchet.
- X es normada e Y y Z son los fuertes duales de los espacios reflexivos de Fréchet.
La topología ε
Suponga que X , Y y Z son espacios localmente convexos y sean 𝒢 ' y ℋ ' las colecciones de subconjuntos equicontinuos de X ' e Y ' , respectivamente. Entonces la topología 𝒢 ' -ℋ ' enserá una topología de espacio vectorial topológico. Esta topología se llama topología ε y con esta topología se denota por o simplemente por .
Parte de la importancia de este espacio vectorial y esta topología es que contiene muchos subespacios, como , que denotamos por . Cuando a este subespacio se le da la topología subespacial de it is denoted by .
In the instance where Z is the field of these vector spaces, is a tensor product of X and Y. In fact, if X and Y are locally convex Hausdorff spaces then is vector space-isomorphic to , which is in turn is equal to .
These spaces have the following properties:
- If X and Y are locally convex Hausdorff spaces then ℬε is complete if and only if both X and Y are complete.
- If X and Y are both normed (or both Banach) then so is
Ver también
- Bornological space – A topological vector space where any bounded linear operator into another space is always continuous
- Bounded linear operator
- Dual system
- Dual topology
- Locally convex topological vector space – A vector space with a topology defined by convex open sets
- Operator norm – measure of "size" of linear operators
- Polar topology – Dual space topology of uniform convergence on some sub-collection of bounded subsets
- Strong dual space – Continuous dual space endowed with the topology of uniform convergence on bounded sets
- Strong topology (polar topology) – Dual space topology of uniform convergence on bounded subsets
- Topological vector space – Vector space with a notion of nearness
- Topologies on the set of operators on a Hilbert space
- Uniform convergence
- Uniform space – Topological space with a notion of uniform properties
- Weak topology – Topology where convergence of points is defined by the convergence of their image under continuous linear functionals
Referencias
- ^ a b c d e f g h i Narici & Beckenstein 2011, pp. 371-423.
- ^ a b c d e f g h Jarchow 1981, pp. 43-55.
- ^ a b c d Narici & Beckenstein 2011, pp. 19-45.
- ^ Note that each set 𝒰(G, N) is a neighborhood of the origin for this topology, but it is not necessarily an open neighborhood of the origin.
- ^ a b c Schaefer & Wolff 1999, pp. 79-88.
- ^ In practice, 𝒢 usually consists of a collection of sets with certain properties and this name is changed appropriately to reflect this set so that if, for instance, 𝒢 is the collection of compact subsets of T (and T is a topological space), then this topology is called the topology of uniform convergence on the compact subsets of T.
- ^ a b c d Schaefer & Wolff 1999, p. 81.
- ^ Schaefer & Wolff 1999, p. 80.
- ^ a b c d Schaefer & Wolff 1999, p. 83.
- ^ Schaefer & Wolff 1999, p. 117.
- ^ a b c Schaefer & Wolff 1999, p. 82.
- ^ Schaefer & Wolff 1999, p. 87.
Bibliografía
- Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
- Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologies and functional analysis. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. pp. xii+144. ISBN 0-7204-0712-5. MR 0500064.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.