En topología , una topología coherente es una topología que está determinada únicamente por una familia de subespacios . Hablando libremente, un espacio topológico es coherente con una familia de subespacios si es una unión topológica de esos subespacios. A veces también se la denomina topología débil generada por la familia de subespacios, una noción que es bastante diferente de la noción de una topología débil generada por un conjunto de mapas. [1]
Definición
Sea X un espacio topológico y sea C = { C α : α ∈ A } una familia de subconjuntos de X con topología subespacial. (Normalmente, C será una cobertura de X ). Entonces se dice que X es coherente con C (o está determinada por C ) [2] si la topología de X se recupera como la que proviene de la topología final coinducida por los mapas de inclusión
Por definición, esta es la topología más fina en (el conjunto subyacente de) X para la cual los mapas de inclusión son continuos . Si C es una cobertura de X , entonces X es coherente con C si se cumple alguna de las siguientes dos condiciones equivalentes:
- Un subconjunto U es abierto en X si y sólo si T ∩ C α está abierto en C α para cada α ∈ A .
- Un subconjunto U está cerrado en X si y sólo si T ∩ C α está cerrado en C α para cada α ∈ A .
Lo anterior no es cierto si C no cubre X .
Dado un espacio topológico X y cualquier familia de subespacios C hay topología única en (el conjunto subyacente de) X coherente con C . Esta topología será, en general, ser más fina que la topología dada en X .
Ejemplos de
- Un espacio topológico X es coherente con cada cubierta abierta de X .
- Un espacio topológico X es coherente con cada localmente finita cubierta cerrada de X .
- Un espacio discreto es coherente con cada familia de subespacios (incluida la familia vacía ).
- Un espacio topológico X es coherente con una partición de X si y solo X es homeomorfo para la unión disjunta de los elementos de la partición.
- Los espacios finamente generados son aquellos determinados por la familia de todos los subespacios finitos .
- Los espacios generados de forma compacta son aquellos determinados por la familia de todos los subespacios compactos .
- Un complejo CW X es coherente con su familia de n- esqueletos X n .
Unión topológica
Dejar ser una familia de espacios topológicos (no necesariamente disjuntos ) de manera que las topologías inducidas coincidan en cada intersección X α ∩ X β . Suponga además que X α ∩ X β está cerrado en X α para cada α, β. Entonces la unión topológica X es la unión de la teoría de conjuntos
dotado de la topología final coinducida por los mapas de inclusión . Los mapas de inclusión serán entonces incrustaciones topológicas y X será coherente con los subespacios { X α }.
Por el contrario, si X es coherente con una familia de subespacios { C α } que cubre X , entonces X es homeomorfo a la unión topológica de la familia { C α }.
Se puede formar la unión topológica de una familia arbitraria de espacios topológicos como arriba, pero si las topologías no coinciden en las intersecciones, entonces las inclusiones no serán necesariamente incrustaciones.
También se puede describir la unión topológica mediante la unión disjunta . Específicamente, si X es una unión topológica de la familia { X α }, entonces X es homeomorfa al cociente de la unión disjunta de la familia { X α } por la relación de equivalencia
para todos α, β en A . Es decir,
Si los espacios { X α } son todos disjuntos, entonces la unión topológica es solo la unión disjunta.
Supongamos ahora que el conjunto A está dirigido , de una forma compatible con la inclusión: cuando sea . Luego hay un mapa único dea X , que de hecho es un homeomorfismo. Aquíes el límite directo (inductivo) ( colimit ) de { X α } en la categoría Top .
Propiedades
Sea X coherente con una familia de subespacios { C α }. Un mapa f : X → Y es continuo si y solo si las restricciones
son continuas para cada α ∈ A . Esta propiedad universal caracteriza topologías coherentes en el sentido de que un espacio X es coherente con C si y sólo si esta propiedad se mantiene para todos los espacios de Y y todas las funciones f : X → Y .
Sea X determinado por una cobertura C = { C α }. Luego
- Si C es un refinamiento de una cubierta D , entonces X se determina por D .
- Si D es un refinamiento de C y cada C α se determina por la familia de todos los D β contenido en C alpha entonces X está determinado por D .
Deje X ser determinada por { C α } y dejar que Y sea un abierto o cerrado subespacio de X . Entonces Y está determinado por { Y ∩ C α }.
Sea X determinado por { C α } y sea f : X → Y un mapa de cocientes . Entonces Y está determinado por {f ( C α )}.
Sea f : X → Y un mapa sobreyectivo y suponga que Y está determinado por { D α : α ∈ A }. Para cada α ∈ A sea
ser la restricción de f a f -1 ( D α ). Luego
- Si f es continua y cada f α es un mapa de cocientes, entonces f es un mapa de cocientes.
- f es un mapa cerrado (resp. mapa abierto ) si y solo si cada f α está cerrado (resp. abierto).
Ver también
- Topología final: la topología más fina que hace que algunas funciones sean continuas
Notas
- ^ Willard, pág. 69
- ^ X también se dice que tiene la topología débil generada por C . Este es un nombre potencialmente confuso ya que los adjetivos débil y fuerte se usan con significados opuestos por diferentes autores. En el uso moderno, el término topología débil es sinónimo de topología inicial y topología fuerte es sinónimo de topología final . Es la topología final la que se analiza aquí.
Referencias
- Tanaka, Yoshio (2004). "Cocientes de espacios y descomposiciones". En KP Hart; J. Nagata; JE Vaughan (eds.). Enciclopedia de topología general . Ámsterdam: Elsevier Science. págs. 43–46. ISBN 0-444-50355-2.
- Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6 (edición Dover).