Matriz de corte

En matemáticas , una matriz de corte o transvección es una matriz elemental que representa la suma de un múltiplo de una fila o columna a otra. Tal matriz se puede derivar tomando la matriz de identidad y reemplazando uno de los elementos cero con un valor distinto de cero.

A continuación se muestra una matriz de corte típica:

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$

El nombre cortante refleja el hecho de que la matriz representa una transformación de cortante . Geométricamente, tal transformación toma pares de puntos en un espacio lineal que están puramente separados axialmente a lo largo del eje cuya fila en la matriz contiene el elemento cortante, y reemplaza efectivamente esos pares por pares cuya separación ya no es puramente axial sino que tiene dos componentes vectoriales. . Por lo tanto, el eje de cizalladura es siempre un vector propio de S .

Una cizalla paralela al eje x da como resultado${\displaystyle x'=x+\lambda y}$ y ${\displaystyle y'=y}$. En forma de matriz:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

De manera similar, una cizalla paralela al eje y tiene${\displaystyle x'=x}$ y ${\displaystyle y'=y+\lambda x}$. En forma de matriz:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

El determinante siempre será 1, ya que no importa dónde se coloque el elemento de corte, será un miembro de una diagonal oblicua que también contiene elementos cero (ya que todas las diagonales oblicuas tienen una longitud de al menos dos) por lo que su producto seguirá siendo cero y no contribuirá al determinante. Por lo tanto, cada matriz de corte tiene una inversa, y la inversa es simplemente una matriz de corte con el elemento de corte negado, lo que representa una transformación de corte en la dirección opuesta. De hecho, esto es parte de un resultado más general fácilmente derivado: si S es una matriz de corte con elemento de corte${\displaystyle \lambda }$, entonces S ⁿ es una matriz de corte cuyo elemento de corte es simplemente n${\displaystyle \lambda }$. Por lo tanto, elevar una matriz de corte a una potencia n multiplica su factor de corte por n .

Propiedades

Si S es una matriz de corte n × n , entonces:

• S tiene rango n y por lo tanto es invertible
• 1 es el único valor propio de S , entonces det S = 1 y traza S = n
• el espacio propio de S (asociado con el valor propio 1) tiene n-1 dimensiones.
• S es defectuoso
• S es asimétrico
• S se puede convertir en una matriz de bloques mediante una operación de intercambio de 1 columna y una operación de intercambio de 1 fila como máximo
• el área , el volumen o cualquier capacidad interior de orden superior de un politopo es invariante bajo la transformación de corte de los vértices del politopo.

Aplicaciones

• Las matrices de corte se utilizan a menudo en gráficos por computadora . ^[1]

Ver también

• Matriz de transformación

Notas

1. Foley y col. (1991 , págs. 207–208,216–217)

Referencias

• Foley, James D .; van Dam, Andries; Feiner, Steven K .; Hughes, John F. (1991), Computer Graphics: Principles and Practice (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-12110-7