En geometría diferencial , la conjetura de Willmore es un límite inferior de la energía Willmore de un toro . Lleva el nombre del matemático inglés Tom Willmore , quien conjeturó en 1965. [2] Una prueba de Fernando Codá Marques y André Neves fue anunciada en 2012 y publicada en 2014. [1] [3]
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Willmore energía
Sea v : M → R 3 una inmersión suave de una superficie compacta y orientable . Dando a M la métrica de Riemanniana inducida por v , sea H : M → R la curvatura media (la media aritmética de las curvaturas principales κ 1 y κ 2 en cada punto). En esta notación, la energía Willmore W ( M ) de M viene dada por
No es difícil probar que la energía Willmore satisface W ( M ) ≥ 4 π , con igualdad si y solo si M es una esfera redonda incrustada .
Declaración
El cálculo de W ( M ) para algunos ejemplos sugiere que debería haber un límite mejor que W ( M ) ≥ 4 π para superficies con género g ( M )> 0. En particular, el cálculo de W ( M ) para toros con varios Las simetrías llevaron a Willmore a proponer en 1965 la siguiente conjetura, que ahora lleva su nombre
- Por cada toro suave sumergido M en R 3 , W ( M ) ≥ 2 π 2 .
En 1982, Peter Wai-Kwong Li y Shing-Tung Yau probaron la conjetura en el caso no incrustado, mostrando que sies una inmersión de una superficie compacta, que no es una incrustación, entonces W ( M ) es al menos 8 π . [4]
En 2012, Fernando Codá Marques y André Neves probaron la conjetura en el caso incrustado, utilizando la teoría min-max de Almgren-Pitts de superficies mínimas . [3] [1] Martin Schmidt reclamó una prueba en 2002, [5] pero no fue aceptada para su publicación en ninguna revista matemática revisada por pares (aunque no contenía una prueba de la conjetura de Willmore, demostró otras conjeturas importantes en eso). Antes de la demostración de Marques y Neves, la conjetura de Willmore ya había sido probada para muchos casos especiales, como el tubo tori (por el propio Willmore) y el toro de revolución (por Langer & Singer). [6]
Referencias
- ↑ a b c Marques, Fernando C .; Neves, André (2014). "Teoría mínima-máxima y la conjetura de Willmore". Annals of Mathematics . 179 : 683–782. arXiv : 1202.6036 . doi : 10.4007 / annals.2014.179.2.6 . Señor 3152944 .
- ^ Willmore, Thomas J. (1965). "Nota sobre superficies empotradas". Analele Ştiinţifice ale Universităţii "Al. I. Cuza" din Iaşi, Secţiunea I a Matematică . 11B : 493–496. Señor 0202066 .
- ^ a b Frank Morgan (2012) " Math Finds the Best Donut ", The Huffington Post
- ^ Li, Peter; Yau, Shing Tung (1982). "Un nuevo invariante conforme y sus aplicaciones a la conjetura de Willmore y el primer valor propio de superficies compactas". Inventiones Mathematicae . 69 (2): 269-291. doi : 10.1007 / BF01399507 . Señor 0674407 .
- ^ Schmidt, Martin U. (2002). "Una prueba de la conjetura de Willmore". arXiv : matemáticas / 0203224 .
- ^ Langer, Joel; Cantante, David (1984). "Curvas en el plano hiperbólico y curvatura media de tori en 3 espacios". El Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 16 (5): 531–534. doi : 10.1112 / blms / 16.5.531 . Señor 0751827 .