En geometría , un 120 gon es un polígono con 120 lados. La suma de los ángulos interiores de 120 gones es 21240 grados.
Regular 120 gon | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 120 |
Símbolo de Schläfli | {120}, t {60}, tt {30}, ttt {15} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diédrico (D 120 ), orden 2 × 120 |
Ángulo interno ( grados ) | 177 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Los nombres alternativos incluyen dodecacontagon y hecatonicosagon . [1]
Propiedades regulares de 120 g
Un 120-gon regular está representado por el símbolo de Schläfli {120} y también se puede construir como un hexacontagon truncado , t {60}, o un triacontagon dos veces truncado , tt {30}, o un pentadecágono tres veces truncado , ttt {15 }.
Un ángulo interior en un 120-gon regular es 177 °, lo que significa que un ángulo exterior sería 3 °.
El área de un 120-gon regular es (con t = longitud del borde )
y su radio interno es
El radio de circunferencia de un 120 gon regular es
Esto significa que las funciones trigonométricas de π / 120 se pueden expresar en radicales.
Construible
Dado que 120 = 2 3 × 3 × 5, se puede construir un 120 gon regular usando un compás y una regla no graduada . [2] Como hexacontagon truncado , se puede construir mediante una bisección de borde de un hexacontagon regular.
Simetría
El 120-gon regular tiene simetría diédrica Dih 120 , orden 240, representada por 120 líneas de reflexión. Dih 120 tiene 15 subgrupos diedros: (Dih 60 , Dih 30 , Dih 15 ), (Dih 40 , Dih 20 , Dih 10 , Dih 5 ), (Dih 24 , Dih 12 , Dih 6 , Dih 3 ) y (Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 , Dih 1 ). Y 16 simetrías cíclicas más : (Z 120 , Z 60 , Z 30 , Z 15 ), (Z 40 , Z 20 , Z 10 , Z 5 ), (Z 24 , Z 12 , Z 6 , Z 3 ) y ( Z 8 , Z 4 , Z 2 , Z 1 ), con Z n representando la simetría rotacional π / n radianes.
Estas 32 simetrías están relacionadas con 44 simetrías distintas en el 120-gon. John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. [3] Da d (diagonal) con líneas de espejo a través de vértices, p con líneas de espejo a través de aristas (perpendiculares), i con líneas de espejo a través de vértices y aristas, y g para simetría rotacional. a1 etiqueta sin simetría.
Estas simetrías más bajas permiten grados de libertad para definir 120 gones irregulares. Solo la simetría g120 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Disección
Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. [4] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el 120-gon regular , m = 60, y se puede dividir en 1770: 30 cuadrados y 29 conjuntos de 60 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección poligonal de Petrie de un cubo de 60 .
120 gramos
Un 120 gramos es un polígono estelar de 120 lados . Hay 15 formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli {120/7}, {120/11}, {120/13}, {120/17}, {120/19}, {120/23}, {120/29} , {120/31}, {120/37}, {120/41}, {120/43}, {120/47}, {120/49}, {120/53} y {120/59}, así como 44 figuras de estrellas compuestas con la misma configuración de vértice .
Imagen | {120} | {120/7} | {120/11} | {120/13} | {120/17} | {120/19} | {120/23} | {120/29} |
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Angulo interior | 177 ° | 159 ° | 147 ° | 141 ° | 129 ° | 123 ° | 111 ° | 93 ° |
Imagen | {120/31} | {120/37} | {120/41} | {120/43} | {120/47} | {120/49} | {120/53} | {120/59} |
Angulo interior | 87 ° | 69 ° | 57 ° | 51 ° | 39 ° | 33 ° | 21 ° | 3 ° |
Referencias
- ^ Norman Johnson, Geometrías y transformaciones (2018), Capítulo 11, sección 11.5 Grupos esféricos de Coxeter, 11.5 grupos policóricos completos
- ^ Polígono construible
- ^ John H. Conway , Heidi Burgiel , Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275- 278)
- ^ Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141