En geometría , un hexacontagon o hexecontagon o 60-gon es un polígono de sesenta lados . [1] [2] La suma de los ángulos interiores de cualquier hexacontagón es 10440 grados.
Hexacontagon regular | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 60 |
Símbolo de Schläfli | {60}, t {30}, tt {15} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diedro (D 60 ), orden 2 × 60 |
Ángulo interno ( grados ) | 174 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Propiedades regulares del hexacontagon
Un hexacontagón regular está representado por el símbolo de Schläfli {60} y también se puede construir como un triacontágono truncado , t {30}, o un pentadecágono dos veces truncado , tt {15}. Un hexacontagon truncado , t {60}, es un 120-gon , {120}.
Un ángulo interior en un hexacontagon regular es de 174 °, lo que significa que un ángulo exterior sería de 6 °.
El área de un hexacontagon regular es (con t = longitud del borde )
y su radio interno es
El circunradio de un hexacontagon regular es
Esto significa que las funciones trigonométricas de π / 60 se pueden expresar en radicales.
Construible
Dado que 60 = 2 2 × 3 × 5, se puede construir un hexacontagon regular usando un compás y una regla . [3] Como un triacontagon truncado , se puede construir mediante una bisección de borde de un triacontagon regular.
Simetría
El hexacontagon regular tiene simetría diédrica Dih 60 , orden 120, representada por 60 líneas de reflexión. Dih 60 tiene 11 subgrupos diedros: (Dih 30 , Dih 15 ), (Dih 20 , Dih 10 , Dih 5 ), (Dih 12 , Dih 6 , Dih 3 ) y (Dih 4 , Dih 2 , Dih 1 ). Y 12 simetrías cíclicas más : (Z 60 , Z 30 , Z 15 ), (Z 20 , Z 10 , Z 5 ), (Z 12 , Z 6 , Z 3 ) y (Z 4 , Z 2 , Z 1 ) , con Z n representando simetría rotacional π / n radianes.
Estas 24 simetrías están relacionadas con 32 simetrías distintas en el hexacontagon. John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. [4] Da d (diagonal) con líneas de espejo a través de vértices, p con líneas de espejo a través de aristas (perpendiculares), i con líneas de espejo a través de vértices y aristas, y g para simetría rotacional. a1 etiqueta sin simetría.
Estas simetrías más bajas permiten grados de libertad para definir hexacontagones irregulares. Solo la simetría g60 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Disección
Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. [5] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el hexacontagon regular , m = 30, y se puede dividir en 435: 15 cuadrados y 14 conjuntos de 30 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección poligonal de Petrie de un cubo de 30 .
Hexacontagrama
Un hexacontagrama es un polígono en estrella de 60 lados . Hay 7 formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli {60/7}, {60/11}, {60/13}, {60/17}, {60/19}, {60/23} y {60/29 }, así como 22 figuras de estrellas compuestas con la misma configuración de vértice .
Imagen | {60/7} | {60/11} | {60/13} | {60/17} | {60/19} | {60/23} | {60/29} |
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Angulo interior | 138 ° | 114 ° | 102 ° | 78 ° | 66 ° | 42 ° | 6 ° |
Referencias
- ^ Gorini, Catherine A. (2009), Manual de hechos sobre geometría de archivos , Infobase Publishing, p. 78, ISBN 9781438109572.
- ^ Los nuevos elementos de las matemáticas: álgebra y geometría de Charles Sanders Peirce (1976), p.298
- ^ Polígono construible
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275-278)
- ^ Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141
- Weisstein, Eric W. "Hexacontagon" . MathWorld .
- Nombrar polígonos y poliedros
- Hexacontagon