2 21 | Rectificado 2 21 | |
( 1 22 ) | Birectificado 2 21 ( Rectificado 1 22 ) | |
proyecciones ortogonales en el plano de Coxeter E 6 |
---|
En geometría de 6 dimensiones , el politopo 2 21 es un politopo 6 uniforme , construido dentro de la simetría del grupo E 6 . Fue descubierto por Thorold Gosset , publicado en su artículo de 1900. Lo llamó una figura semirregular de 6 ic . [1] También se le llama politopo de Schläfli .
Su símbolo de Coxeter es 2 21 , que describe su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo al final de una de las secuencias de 2 nodos. También estudió [2] su conexión con las 27 líneas de la superficie cúbica , que naturalmente están en correspondencia con los vértices de 2 21 .
El 2 21 rectificado está construido por puntos en los bordes medios del 2 21 . El 2 21 birectificado está construido por puntos en los centros de las caras del triángulo del 2 21 , y es el mismo que el 1 22 rectificado .
Estos politopos son parte de la familia de 39 politopos convexos uniformes en 6 dimensiones , hechos de facetas uniformes de 5 politopos y figuras de vértices , definidas por todas las permutaciones de anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin :.
2_21 politopo
2 21 politopo | |
---|---|
Tipo | 6 politopos uniformes |
Familia | k 21 politopo |
Símbolo de Schläfli | {3,3,3 2,1 } |
Símbolo de coxeter | 2 21 |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | o |
5 caras | 99 en total: 27 2 11 72 {3 4 } |
4 caras | 648: 432 {3 3 } 216 {3 3 } |
Células | 1080 {3,3} |
Caras | 720 {3} |
Bordes | 216 |
Vértices | 27 |
Figura de vértice | 1 21 ( 5-demicubos ) |
Polígono de Petrie | Dodecágono |
Grupo Coxeter | E 6 , [3 2,2,1 ], orden 51840 |
Propiedades | convexo |
El 2 21 tiene 27 vértices y 99 facetas: 27 5-ortoplejos y 72 5-simples . Su figura de vértice es un 5-semicubo .
Para la visualización, este politopo de 6 dimensiones a menudo se muestra en una dirección de proyección ortográfica sesgada especial que se ajusta a sus 27 vértices dentro de un polígono regular de 12 gonales (llamado polígono de Petrie ). Sus 216 aristas están dibujadas entre 2 anillos de 12 vértices y 3 vértices proyectados en el centro. Los elementos superiores (caras, celdas, etc.) también se pueden extraer y dibujar en esta proyección.
El gráfico de Schläfli es el esqueleto 1 de este politopo.
Nombres Alternativos
- EL Elte lo nombró V 27 (por sus 27 vértices) en su lista de politopos semirregulares de 1912. [3]
- Icosihepta-heptacontidi-peton - Polipetón facetado 27-72 (acrónimo jak) (Jonathan Bowers) [4]
Coordenadas
Los 27 vértices se pueden expresar en 8 espacios como una figura de borde del politopo 4 21 :
- (-2,0,0,0, -2,0,0,0), (0, -2,0,0, -2,0,0,0), (0,0, -2,0, -2,0,0,0), (0,0,0, -2, -2,0,0,0), (0,0,0,0, -2,0,0, -2), (0,0,0,0,0, -2, -2,0)
- (2,0,0,0, -2,0,0,0), (0,2,0,0, -2,0,0,0), (0,0,2,0, -2, 0,0,0), (0,0,0,2, -2,0,0,0), (0,0,0,0, -2,0,0,2)
- (-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1), (-1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1), (-1, -1, 1, -1, -1, -1, -1, 1), (-1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, -1), (- 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, 1), (-1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, -1), (-1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1), (1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1) (1, -1, 1 , -1, -1, -1, -1, -1), (1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, -1) (1, 1, -1, -1 , -1, -1, -1, -1), (-1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1) (1, -1, 1, 1, -1, -1 , -1, 1) (1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, 1) (1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1) (1 , 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1)
Construcción
Su construcción se basa en el grupo E 6 .
La información de facetas se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin ,.
Quitar el nodo en la rama corta deja el 5-simplex ,.
Quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes deja el 5-ortoplex en su forma alterna: ( 2 11 ),.
Cada faceta simplex toca una faceta de 5 ortoplex, mientras que las facetas alternativas del ortoplex tocan un simplex u otro ortoplex.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y haciendo sonar el nodo vecino. Esto hace 5-demicube (1 21 politopo),. La figura de borde es la figura de vértice de la figura de vértice, un rectificado de 5 celdas , (0 21 politopo),.
Visto en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar de las órdenes del grupo Coxeter . [5]
E 6 | cara-k | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | k -figura | notas | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
D 5 | () | f 0 | 27 | dieciséis | 80 | 160 | 80 | 40 | dieciséis | 10 | h {4,3,3,3} | E 6 / D 5 = 51840/1920 = 27 | |
A 4 A 1 | {} | f 1 | 2 | 216 | 10 | 30 | 20 | 10 | 5 | 5 | r {3,3,3} | E 6 / A 4 A 1 = 51840/120/2 = 216 | |
A 2 A 2 A 1 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 720 | 6 | 6 | 3 | 2 | 3 | {3} x {} | E 6 / A 2 A 2 A 1 = 51840/6/6/2 = 720 | |
A 3 A 1 | {3,3} | f 3 | 4 | 6 | 4 | 1080 | 2 | 1 | 1 | 2 | {} v () | E 6 / A 3 A 1 = 51840/24/2 = 1080 | |
A 4 | {3,3,3} | f 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 432 | * | 1 | 1 | {} | E 6 / A 4 = 51840/120 = 432 | |
A 4 A 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | * | 216 | 0 | 2 | E 6 / A 4 A 1 = 51840/120/2 = 216 | ||||
A 5 | {3,3,3,3} | f 5 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 0 | 72 | * | () | E 6 / A 5 = 51840/720 = 72 | |
D 5 | {3,3,3,4} | 10 | 40 | 80 | 80 | dieciséis | dieciséis | * | 27 | E 6 / D 5 = 51840/1920 = 27 |
Imagenes
Los vértices están coloreados por su multiplicidad en esta proyección, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo. El número de vértices por color se da entre paréntesis.
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | B6 [12/2] |
---|---|---|---|
(1,3) | (1,3) | (3,9) | (1,3) |
A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] | |
(1,3) | (1,2) | (1,4,7) |
Plegado geométrico
El 2 21 está relacionado con el 24 celdas por un plegado geométrico de los diagramas de Coxeter-Dynkin E6 / F4 . Esto se puede ver en las proyecciones del plano de Coxeter . Los 24 vértices de las 24 celdas se proyectan en los mismos dos anillos como se ve en el 2 21 .
E 6 | F 4 |
2 21 | 24 celdas |
Este politopo puede teselar 6 espacios euclidianos, formando el panal 2 22 con este diagrama de Coxeter-Dynkin:.
Poliedros complejos relacionados
El polígono complejo regular 3 {3} 3 {3} 3 ,, en tiene una representación real como el politopo 2 21 ,, en un espacio de 4 dimensiones. Se llama poliedro de Hesse en honor a Edmund Hess . Tiene 27 vértices, 72 3 aristas y 27 3 {3} 3 caras. Su grupo de reflexión complejo es 3 [3] 3 [3] 3 , orden 648.
Politopos relacionados
El 2 21 es el cuarto en una serie dimensional de politopos semirregulares . Cada politopo uniforme progresivo se construye en la figura del vértice del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 por contener todas las facetas politopicas regulares , conteniendo todos los simplex y ortoplexes .
k 21 cifras en n dimensional | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
E n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupo Coxeter | E 3 = UNA 2 UNA 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Diagrama de Coxeter | |||||||||||
Simetría | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Pedido | 12 | 120 | 1.920 | 51,840 | 2.903.040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Grafico | - | - | |||||||||
Nombre | −1 21 | 0 21 | 1 21 | 2 21 | 3 21 | 4 21 | 5 21 | 6 21 |
El politopo 2 21 es el cuarto en la serie dimensional 2 k2 .
2 k 1 cifras en n dimensiones | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||||||||
norte | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupo Coxeter | E 3 = UNA 2 UNA 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Diagrama de Coxeter | |||||||||||
Simetría | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [[3 1,2,1 ]] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Pedido | 12 | 120 | 384 | 51,840 | 2.903.040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Grafico | - | - | |||||||||
Nombre | 2 −1,1 | 2 01 | 2 11 | 2 21 | 2 31 | 2 41 | 2 51 | 2 61 |
El politopo 2 21 es el segundo en la serie dimensional 2 2k .
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||
---|---|---|---|---|---|
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Grupo Coxeter | A 2 A 2 | A 5 | E 6 | = E 6 + | E 6 ++ |
Diagrama de Coxeter | |||||
Grafico | ∞ | ∞ | |||
Nombre | 2 2, -1 | 2 20 | 2 21 | 2 22 | 2 23 |
Politopo 2_21 rectificado
Rectificado 2 21 politopo | |
---|---|
Tipo | 6 politopos uniformes |
Símbolo de Schläfli | t 1 {3,3,3 2,1 } |
Símbolo de coxeter | t 1 (2 21 ) |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | o |
5 caras | 126 en total: 72 t 1 {3 4 } |
4 caras | 1350 |
Células | 4320 |
Caras | 5040 |
Bordes | 2160 |
Vértices | 216 |
Figura de vértice | prisma rectificado de 5 celdas |
Grupo Coxeter | E 6 , [3 2,2,1 ], orden 51840 |
Propiedades | convexo |
El 21 rectificado tiene 216 vértices y 126 facetas: 72 5-simplices rectificados , 27 5-ortoplexos rectificados y 27 5-semicubos . Su figura de vértice es un prisma rectificado de 5 celdas .
Nombres Alternativos
- Icosihepta-heptacontidi-peton rectificado como un polipéton rectificado 27-72 facetado (acrónimo rojak) (Jonathan Bowers) [6]
Construcción
Su construcción se basa en el grupo E 6 y la información se puede extraer del diagrama de Coxeter-Dynkin anillado que representa este politopo:.
Quitar el anillo en la rama corta deja el rectificado 5-simplex ,.
Quitar el anillo en el extremo de la otra rama de 2 longitudes deja el 5-ortoplex rectificado en su forma alterna: t 1 (2 11 ) ,.
Quitar el anillo en el extremo de la misma rama de 2 longitudes deja el 5-demicubo : (1 21 ) ,.
La figura del vértice se determina quitando el anillo anillado y haciendo sonar el anillo vecino. Esto hace que el prisma de 5 celdas rectificado , t 1 {3,3,3} x {},.
Imagenes
Los vértices están coloreados por su multiplicidad en esta proyección, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo.
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | B6 [12/2] |
---|---|---|---|
A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] | |
Politopo truncado 2_21
Truncado 2 21 politopo | |
---|---|
Tipo | 6 politopos uniformes |
Símbolo de Schläfli | t {3,3,3 2,1 } |
Símbolo de coxeter | t (2 21 ) |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | o |
5 caras | 72 + 27 + 27 |
4 caras | 432 + 216 + 432 + 270 |
Células | 1080 + 2160 + 1080 |
Caras | 720 + 4320 |
Bordes | 216 + 2160 |
Vértices | 432 |
Figura de vértice | () vr {3,3,3} |
Grupo Coxeter | E 6 , [3 2,2,1 ], orden 51840 |
Propiedades | convexo |
El 2 21 truncado tiene 432 vértices, 5040 aristas, 4320 caras, 1350 celdas y 126 4 caras. Su figura de vértice es una pirámide rectificada de 5 celdas .
Imagenes
Los vértices están coloreados por su multiplicidad en esta proyección, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, violeta.
E6 [12] | D5 [8] | D4 / A2 [6] | B6 [12/2] |
---|---|---|---|
A5 [6] | A4 [5] | A3 / D3 [4] | |
Ver también
- Lista de politopos E6
Notas
- ↑ Gosset, 1900
- ^ Coxeter, HSM (1940). "El politopo 2 21 cuyos veintisiete vértices corresponden a las líneas de la superficie cúbica general". Amer. J. Math . 62 (1): 457–486. doi : 10.2307 / 2371466 . JSTOR 2371466 .
- ↑ Elte, 1912
- ^ Klitzing, (x3o3o3o3o * c3o - jak)
- ↑ Coxeter, Regular Polytopes, 11,8 figuras de Gossett en seis, siete y ocho dimensiones, p. 202-203
- ^ Klitzing, (o3x3o3o3o * c3o - rojak)
Referencias
- T.Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
- Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 17) Coxeter , The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248] Ver figura 1: (p. 232) (Gráfico de borde de nodo de politopo)
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 6D (polypeta)" . x3o3o3o3o * c3o - jak, o3x3o3o3o * c3o - rojak
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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