En geometría , las figuras Gosset-Elte , nombradas por Coxeter en honor a Thorold Gosset y EL Elte , son un grupo de politopos uniformes que no son regulares , generados por una construcción de Wythoff con espejos todos relacionados por ángulos diedros de orden 2 y orden 3. Pueden verse como diagramas de Coxeter-Dynkin anillados en un extremo .
El símbolo de Coxeter para estas figuras tiene la forma k i, j , donde cada letra representa una longitud de ramas de orden 3 en un diagrama de Coxeter-Dynkin con un solo anillo en el nodo final de una secuencia de ramas de k longitudes. La figura del vértice de k i, j es ( k - 1) i, j , y cada una de sus facetas se representa restando uno de uno de los subíndices distintos de cero, es decir, k i - 1, j y k i , j - 1 . [1]
Los simples rectificados se incluyen en la lista como casos límite con k = 0. De manera similar, 0 i, j, k representa un gráfico bifurcado con un nodo central anillado.
Historia
Coxeter nombró estas cifras como k i, j (o k ij ) en forma abreviada y dio crédito de su descubrimiento a Gosset y Elte: [2]
- Thorold Gosset publicó por primera vez una lista de figuras regulares y semi-regulares en el espacio de n dimensiones [3] en 1900, enumerando politopos con uno o más tipos de caras regulares de politopos . Esto incluyó el rectificado de 5 celdas 0 21 en 4 espacios, demipenteract 1 21 en 5 espacios, 2 21 en 6 espacios, 3 21 en 7 espacios, 4 21 en 8 espacios y 5 21 teselación infinita en 8 -espacio.
- EL Elte enumeró de forma independiente una lista semirregular diferente en su libro de 1912, The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces . [4] Los llamó politopos semirregulares del primer tipo , limitando su búsqueda a uno o dos tipos de k-caras regulares o semirregulares.
La enumeración de Elte incluyó todos los politopos k ij excepto el 1 42 que tiene 3 tipos de 6 caras.
El conjunto de figuras se extiende en panales de familias (2,2,2), (3,3,1) y (5,4,1) en espacios euclidianos dimensionales 6,7,8 respectivamente. La lista de Gosset incluía el panal 5 21 como el único semirregular en su definición.
Definición
Los politopos y panales de esta familia se pueden ver dentro de la clasificación ADE .
Existe un politopo finito k ij si
o igual para los panales euclidianos, y menos para los panales hiperbólicos.
El grupo Coxeter [3 i, j, k ] puede generar hasta 3 figuras uniformes únicas de Gosset-Elte con diagramas de Coxeter-Dynkin con un nodo final anillado. Por la notación de Coxeter , cada figura está representada por k ij para significar que el nodo final en la secuencia de k longitudes está anillado.
La familia simplex puede verse como un caso límite con k = 0 y todos los diagramas de Coxeter-Dynkin rectificados (de un solo anillo).
Familia A [3 n ] ( simples rectificados )
La familia de n - simplices contiene figuras de Gosset-Elte de la forma 0 ij como todas las formas rectificadas del n -simplex ( i + j = n - 1).
Se enumeran a continuación, junto con su diagrama de Coxeter-Dynkin , con cada familia dimensional dibujada como una proyección ortogonal gráfica en el plano del polígono de Petrie del símplex regular.
Grupo Coxeter | Simplex | Rectificado | Birectificado | Trirectificado | Cuadrirectificado |
---|---|---|---|---|---|
A 1 [3 0 ] | = 0 00 | ||||
A 2 [3 1 ] | = 0 10 | ||||
A 3 [3 2 ] | = 0 20 | = 0 11 | |||
A 4 [3 3 ] | = 0 30 | = 0 21 | |||
A 5 [3 4 ] | = 0 40 | = 0 31 | = 0 22 | ||
A 6 [3 5 ] | = 0 50 | = 0 41 | = 0 32 | ||
A 7 [3 6 ] | = 0 60 | = 0 51 | = 0 42 | = 0 33 | |
A 8 [3 7 ] | = 0 70 | = 0 61 | = 0 52 | = 0 43 | |
A 9 [3 8 ] | = 0 80 | = 0 71 | = 0 62 | = 0 53 | = 0 44 |
A 10 [3 9 ] | = 0 90 | = 0 81 | = 0 72 | = 0 63 | = 0 54 |
... | ... |
Demihipercubo de la familia D [3 n −3,1,1 ]
Cada grupo D n tiene dos figuras de Gosset-Elte, el n - demihipercubo como 1 k1 , y una forma alterna del n - ortoplex , k 11 , construido con facetas símplex alternas. Los n - demihipercubos rectificados , una forma de simetría más baja de un n -cubo birectificado , también se pueden representar como 0 k11 .
Clase | Demihipercubos | Orthoplexes (regulares) | Demicubos rectificados |
---|---|---|---|
D 3 [3 1,1,0 ] | = 1 10 | = 0 110 | |
D 4 [3 1,1,1 ] | = 1 11 | = 0 111 | |
D 5 [3 2,1,1 ] | = 1 21 | = 2 11 | = 0 211 |
D 6 [3 3,1,1 ] | = 1 31 | = 3 11 | = 0 311 |
D 7 [3 4,1,1 ] | = 1 41 | = 4 11 | = 0 411 |
D 8 [3 5,1,1 ] | = 1 51 | = 5 11 | = 0 511 |
D 9 [3 6,1,1 ] | = 1 61 | = 6 11 | = 0 611 |
D 10 [3 7,1,1 ] | = 1 71 | = 7 11 | = 0 711 |
... | ... | ... | |
D n [3 n −3,1,1 ] | ...= 1 n −3,1 | ...= ( n −3) 11 | ...= 0 n −3,1,1 |
Familia E n [3 n −4,2,1 ]
Cada grupo E n de 4 a 8 tiene dos o tres figuras de Gosset-Elte, representadas por uno de los nodos finales anillados: k 21 , 1 k2 , 2 k1 . Una serie de 1 k2 rectificada también se puede representar como 0 k21 .
2 k1 | 1 k2 | k 21 | 0 k21 | |
---|---|---|---|---|
E 4 [3 0,2,1 ] | = 2 01 | = 1 20 | = 0 21 | |
E 5 [3 1,2,1 ] | = 2 11 | = 1 21 | = 1 21 | = 0 211 |
E 6 [3 2,2,1 ] | = 2 21 | = 1 22 | = 2 21 | = 0 221 |
E 7 [3 3,2,1 ] | = 2 31 | = 1 32 | = 3 21 | = 0 321 |
E 8 [3 4,2,1 ] | = 2 41 | = 1 42 | = 4 21 | = 0 421 |
Panales euclidianos e hiperbólicos
Hay tres grupos Coxeter euclidianos ( afines ) en las dimensiones 6, 7 y 8: [5]
Grupo Coxeter | Panales | |||
---|---|---|---|---|
= [3 2,2,2 ] | = 2 22 | = 0 222 | ||
= [3 3,3,1 ] | = 3 31 | = 1 33 | = 0 331 | |
= [3 5,2,1 ] | = 2 51 | = 1 52 | = 5 21 | = 0 521 |
Hay tres grupos Coxeter hiperbólicos ( paracompactos ) en las dimensiones 7, 8 y 9:
Grupo Coxeter | Panales | |||
---|---|---|---|---|
= [3 3,2,2 ] | = 3 22 | = 2 32 | = 0 322 | |
= [3 4,3,1 ] | = 4 31 | = 3 41 | = 1 43 | = 0 431 |
= [3 6,2,1 ] | = 2 61 | = 1 62 | = 6 21 | = 0 621 |
Como generalización, en este símbolo también se pueden expresar más ramas de orden 3. El grupo afín de Coxeter de 4 dimensiones ,, [3 1,1,1,1 ], tiene cuatro de orden-3 ramas, y puede expresar un nido de abeja, 1 111 ,, representa una forma de simetría más baja del panal de 16 celdas , y 0 1111 ,para el panal rectificado de 16 celdas . El grupo Coxeter hiperbólico de 5 dimensiones ,, [3 1,1,1,1,1 ], tiene cinco ramas de orden 3 y puede expresar un panal, 1 1111 ,y su rectificación como 0 11111 ,.
Notas
- ↑ Coxeter 1973, p.201
- ^ Coxeter, 1973, p. 210 (11.x Comentarios históricos)
- ↑ Gosset, 1900
- ↑ ELElte, 1912
- ^ Coxeter 1973, pp.202-204, 11.8 Figuras de Gosset en seis, siete y ocho dimensiones.
Referencias
- Gosset, Thorold (1900). "Sobre las figuras regulares y semi-regulares en el espacio de n dimensiones". Mensajero de las Matemáticas . 29 : 43–48.
- Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen, ISBN 1-4181-7968-X [1] [2]
- Coxeter, HSM (3a edición, 1973) Politopos regulares , edición Dover, ISBN 0-486-61480-8
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966