En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , una categoría pre-abeliana es una categoría aditiva que tiene todos los núcleos y cokernel .
Explicado con más detalle, esto significa que una categoría C es pre-abeliana si:
- C es preaditivo , que está enriquecido sobre la categoría monoidal de los grupos abelianos (de manera equivalente, todos los hom-conjuntos en C son grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilineal );
- C tiene todos los productos finitos (de manera equivalente, todos los coproductos finitos ); tenga en cuenta que debido a que C también es preaditivo, los productos finitos son lo mismo que los coproductos finitos, lo que los convierte en biproductos ;
- dado cualquier morfismo f : A → B en C , existe el ecualizador de f y el morfismo cero de A a B (este es por definición el núcleo de f ), al igual que el coecualizador (este es por definición el cokernel de f ).
Nótese que el morfismo cero en el ítem 3 puede identificarse como el elemento de identidad del hom-set Hom ( A , B ), que es un grupo abeliano por el ítem 1; o como el morfismo único A → 0 → B , donde 0 es un objeto cero , cuya existencia está garantizada por el elemento 2.
Ejemplos
El ejemplo original de una categoría aditiva es la categoría Ab de grupos abelianos .Ab es preaditivo porque es una categoría monoidal cerrada , el biproducto en Ab es la suma directa finita , el núcleo es la inclusión del núcleo ordinario de la teoría de grupos y el cokernel es el mapa del cociente sobre el cokernel ordinario de la teoría de grupos .
Otros ejemplos comunes:
- La categoría de módulos (izquierda) sobre un anillo R , en particular:
- la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K .
- La categoría de grupos topológicos abelianos (de Hausdorff ) .
- La categoría de espacios de Banach .
- La categoría de espacios Fréchet .
- La categoría de espacios bornológicos (de Hausdorff) .
Estos le darán una idea de qué pensar; para obtener más ejemplos, consulte la categoría abeliana (cada categoría abeliana es pre-abeliana).
Propiedades elementales
Cada categoría pre-abeliana es, por supuesto, una categoría aditiva , y muchas propiedades básicas de estas categorías se describen bajo ese tema. Este artículo se ocupa de las propiedades que se mantienen específicamente debido a la existencia de núcleos y cokernels.
Aunque los kernels y los cokernels son tipos especiales de ecualizadores y coequalisers , una categoría pre-abeliana en realidad tiene todos los ecualizadores y coequalisers. Simplemente construimos el ecualizador de dos morfismos f y g como el núcleo de su diferencia g - f ; de manera similar, su coequaliser es el cokernel de su diferencia. (El término alternativo "núcleo de diferencias" para ecualizadores binarios se deriva de este hecho.) Dado que las categorías pre-abelianas tienen todos los productos y coproductos finitos (los biproductos) y todos los ecualizadores y coequalizadores binarios (como se acaba de describir), entonces por un teorema general de teoría de categorías, tienen todos límites finitos y colimits . Es decir, las categorías pre-abelianas son finitamente completas .
La existencia de kernels y cokernels da una noción de imagen y coimagen . Podemos definir estos como
- im f : = ker coker f ;
- coim f : = coker ker f .
Es decir, la imagen es el núcleo del cokernel y la coimagen es el cokernel del núcleo.
Tenga en cuenta que esta noción de imagen puede no corresponder con la noción habitual de imagen, o rango , de una función , incluso asumiendo que los morfismos en la categoría son funciones. Por ejemplo, en la categoría de grupos abelianos topológicos, la imagen de un morfismo corresponde realmente a la inclusión del cierre del rango de la función. Por esta razón, la gente a menudo distinguirá los significados de los dos términos en este contexto, usando "imagen" para el concepto categórico abstracto y "rango" para el concepto elemental de teoría de conjuntos.
En muchas situaciones comunes, como la categoría de conjuntos , donde existen imágenes y coimágenes, sus objetos son isomorfos . Dicho de manera más precisa, tenemos una factorización de f : A → B como
- A → C → I → B ,
donde el morfismo de la izquierda es la coimagen, el morfismo de la derecha es la imagen y el morfismo del medio (llamado paralelo de f ) es un isomorfismo.
En una categoría pre-abeliana, esto no es necesariamente cierto . La factorización que se muestra arriba siempre existe, pero el paralelo podría no ser un isomorfismo. De hecho, el paralelo de f es un isomorfismo para cada morfismo f si y solo si la categoría pre-abeliana es una categoría abeliana . Un ejemplo de una categoría pre-abeliana no abeliana es, una vez más, la categoría de grupos abelianos topológicos. Como se comentó, la imagen es la inclusión del cierre de la gama; sin embargo, la coimagen es un mapa de cociente sobre el rango en sí. Por lo tanto, el paralelo es la inclusión del rango en su cierre, que no es un isomorfismo a menos que el rango ya esté cerrado .
Functores exactos
Recuerde que todos los límites finitos y colimits existen en una categoría pre-abeliana. En la teoría de categorías general , un funtor se llama exacto por la izquierda si conserva todos los límites finitos y exacto por la derecha si conserva todos los colimits finitos. (Un funtor es simplemente exacto si es exacto a la izquierda y exacto a la derecha).
En una categoría pre-abeliana, los functores exactos se pueden describir en términos particularmente simples. Primero, recuerde que un funtor aditivo es un funtor F : C → D entre categorías preaditivas que actúa como un homomorfismo de grupo en cada hom-set . Entonces resulta que un functor entre categorías pre-abelianas se deja exacto si y solo si es aditivo y conserva todos los núcleos, y es exacto correcto si y solo si es aditivo y conserva todos los cokernel.
Tenga en cuenta que un functor exacto, debido a que conserva tanto los núcleos como los cokernel, conserva todas las imágenes y coimágenes. Los functores exactos son más útiles en el estudio de categorías abelianas , donde se pueden aplicar a secuencias exactas .
Estructura máxima exacta
En cada categoría pre-abeliana existe una estructura exacta eso es máximo en el sentido de que contiene todas las demás estructuras exactas. La estructura exacta consiste precisamente en esos pares kernel-cokernel donde es un kernel semi-estable y es un cokernel semi-estable. [1] Aquí, es un kernel semi-estable si es un kernel y para cada morfismo en el diagrama de empuje
el morfismo es de nuevo un núcleo. es un cokernel semi-estable si es un cokernel y para cada morfismo en el diagrama de retroceso
el morfismo es de nuevo un cokernel.
Una categoría pre-abeliana es cuasi-abeliano si y solo si todos los pares kernel-cokernel forman una estructura exacta. Un ejemplo en el que este no es el caso es la categoría de espacios bornológicos (de Hausdorff). [2]
El resultado también es válido para categorías aditivas que no son pre-abelianas sino Karoubian . [3]
Casos especiales
- Una categoría abeliana es una categoría pre-abeliana tal que todo monomorfismo y epimorfismo es normal .
- Una categoría cuasi-abeliana es una categoría pre-abeliana en la que los núcleos son estables en situaciones de expulsión y los cokernel en situaciones de retirada.
- Una categoría semi-abeliana es una categoría pre-abeliana en la que para cada morfismo el morfismo inducido es siempre un monomorfismo y un epimorfismo.
Las categorías pre-abelianas más comúnmente estudiadas son de hecho categorías abelianas; por ejemplo, Ab es una categoría abeliana. Las categorías pre-abelianas que no son abelianas aparecen, por ejemplo, en el análisis funcional.
Citas
- ^ Sieg et. al., 2011, pág. 2096.
- ^ Sieg et. al., 2011, pág. 2099.
- ^ Crivei, 2012, p. 445.
Referencias
- Nicolae Popescu ; 1973; Categorías abelianas con aplicaciones a anillos y módulos ; Academic Press, Inc .; agotado
- Dennis Sieg y Sven-Ake Wegner, Estructuras máximas exactas en categorías aditivas, Matemáticas. Nachr. 284 (2011), 2093–2100.
- Septimu Crivei, Estructuras máximas exactas en categorías aditivas revisadas, Matemáticas. Nachr. 285 (2012), 440–446.
