En álgebra conmutativa , la norma de un ideal es una generalización de la norma de un elemento en la extensión del campo . Es particularmente importante en la teoría de números, ya que mide el tamaño de un ideal de un anillo numérico complicado en términos de un ideal en un anillo menos complicado . Cuando se considera que el anillo numérico menos complicado es el anillo de números enteros , Z , entonces la norma de un ideal distinto de cero I de un anillo numérico R es simplemente el tamaño del anillo de cociente finito R / I.
Norma relativa
Deje que A sea un dominio Dedekind con cuerpo de fracciones K y cierre integral de B en un finito extensión separable L de K . (esto implica que B es también un dominio de Dedekind). y ser los grupos ideales de A y B , respectivamente (es decir, los conjuntos de ideales fraccionarios distintos de cero ). Siguiendo la técnica desarrollada por Jean-Pierre Serre , el mapa de normas
es el homomorfismo de grupo único que satisface
para todos los ideales primos distintos de cero de B , dondees el ideal primordial de A que se encuentra debajo.
Alternativamente, para cualquier uno puede definir de manera equivalente ser el ideal fraccionario de A generado por el conjuntode normas de campo de elementos de B . [1]
Para , uno tiene , dónde .
Por tanto, la norma ideal de un ideal principal es compatible con la norma de campo de un elemento:
Dejar ser una extensión de Galois de campos numéricos con anillos de números enteros .
Entonces lo anterior se aplica con , y para cualquier tenemos
que es un elemento de .
La notación a veces se abrevia a , un abuso de notación que es compatible con escribir también para la norma de campo, como se indicó anteriormente.
En el caso , es razonable utilizar números racionales positivos como rango para desde tiene trivial grupo ideal de la clase y grupo unidad , así cada ideal fraccionario distinto de cero dees generado por un número racional positivo determinado de forma única . Bajo esta convención, la norma relativa de Abajo a coincide con la norma absoluta definida a continuación.
Norma absoluta
Dejar ser un campo numérico con un anillo de números enteros , y un ideal distinto de cero (integral) de.
La norma absoluta de es
Por convención, la norma del ideal cero se toma como cero.
Si es un ideal principal , entonces
- . [3]
La norma es completamente multiplicativa : si y son ideales de , luego
- . [3]
Así, la norma absoluta se extiende únicamente a un homomorfismo de grupo.
definido para todos los ideales fraccionarios distintos de cero de.
La norma de un ideal se puede usar para dar un límite superior en la norma de campo del elemento distinto de cero más pequeño que contiene:
siempre existe un distinto de cero para cual
dónde
- es el discriminante de y
- es el número de pares de incrustaciones complejas (no reales) de L en(el número de lugares complejos de L ). [4]
Ver también
- Norma de campo
- Función zeta de Dedekind
Referencias
- ^ Janusz, Gerald J. (1996), Campos numéricos algebraicos , Estudios de posgrado en matemáticas , 7 (segunda ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, Proposición I.8.2, ISBN 0-8218-0429-4, MR 1362545
- ^ Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields , Graduate Texts in Mathematics, 67 , traducido por Greenberg, Marvin Jay , Nueva York: Springer-Verlag, 1.5, Proposición 14, ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- ^ a b Marcus, Daniel A. (1977), Campos numéricos , Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, Teorema 22c, ISBN 0-387-90279-1, MR 0457396
- ^ Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Berlín: Springer-Verlag, Lemma 6.2, doi : 10.1007 / 978-3-662-03983-0 , ISBN 3-540-65399-6, MR 1697859