En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, un conjunto absorbente en un espacio vectorial es un conjunto S que se puede "inflar" o "escalar" para eventualmente incluir siempre cualquier punto dado del espacio vectorial. Los términos alternativos son radial o absorbente .
Definición
Suponer que es un espacio vectorial sobre el campo de número real o números complejos
Notación
- Productos de escalares y vectores
Dejar ser un subconjunto de un conjunto de escalares, un escalar. Definir:
así que eso
- y y
Para cualquier dejar
- y
así que eso y deja
- y
denotar la bola cerrada (respectivamente, la bola abierta ) de radio en centrado en
Un set absorbiendo a otro
Si y son subconjuntos de luego se dice que absorbe si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Definición : existe un verdadero tal que por cada escalar satisfactorio ;
- Si el campo escalar es luego intuitivamente, " absorbe "significa que si es perpetuamente "ampliado" o "inflado" (refiriéndose a con ) luego eventualmente todo contendrá
- Esta definición depende de la norma canónica en el campo escalar subyacente, que vincula esta definición a la topología euclidiana habitual en el campo escalar.
- Existe un real tal que por cada escalar satisfactorio ;
- Si se sabe que entonces podemos eliminar la restricción
- Existe un real tal que
- La bola cerrada (sin el origen) se puede utilizar en lugar de la bola abierta.
Si es un conjunto equilibrado , a continuación, se puede agregar a esta lista:
- Existe un escalar tal que ;
- Existe un escalar tal que
Se dice que un conjunto absorbe un punto si y solo si absorbe Un conjunto absorbe el origen si y solo si contiene el origen como un elemento.
Conjunto absorbente
Un subconjunto de un espacio vectorial sobre un campo se llama absorbente o absorbente en si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes (aquí ordenadas de modo que cada condición sea una consecuencia fácil de la anterior, comenzando por la definición):
- Definición : Para cada absorbe
- Para cada existe un real tal que para cualquier escalar satisfactorio
- Para cada existe un real tal que para cualquier escalar satisfactorio
- Para cada existe un real tal que
- Aquí es la bola abierta de radio en centrado en el origen y
- La bola cerrada se puede utilizar en lugar de la bola abierta.
- Para cada existe un real tal que dónde
- Prueba : Esto se deriva de la condición anterior ya que así que eso si y solo si
- Conexión a la topología : si se le da su topología euclidiana de Hausdorff habitual, entonces el conjunto es un barrio del origen en; por lo tanto, existe un real tal que si y solo si es un barrio del origen en
- Cada subespacio vectorial unidimensional de es de la forma para algunos distintos de cero y que si el espacio unidimensional está dotado con la topología vectorial única de Hausdorff, luego el mapa dada por es un isomorfismo TVS (donde, como de costumbre, tiene la topología euclidiana normalizada).
- contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional de es un barrio del origen en Cuándo recibe su exclusiva topología vectorial de Hausdorff .
- La topología vectorial de Hausdorff en un espacio vectorial unidimensional es necesariamente TVS-isomorfa para con su topología euclidiana normalizada habitual .
- Intuición : esta condición muestra que es natural que cualquier vecindad de 0 en cualquier espacio vectorial topológico (TVS) ser absorbente: si es un barrio del origen en entonces sería patológico si existiera algún subespacio vectorial unidimensional en el cual no era una vecindad del origen en al menos alguna topología de TVS en Las únicas topologías de TVS en son la topología euclidiana de Hausdorff y la topología trivial, que es un subconjunto de la topología euclidiana. En consecuencia, es natural esperar ser un barrio de en la topología euclidiana para todos los subespacios vectoriales unidimensionales que es exactamente la condición que estar absorbiendo en Por tanto, no es de extrañar que todos los barrios del origen en todos los televisores sean necesariamente absorbentes. La razón por la que se distingue la topología euclidiana se debe en última instancia al requisito de definición de las topologías TVS de que la multiplicación escalar ser continuo cuando el campo escalar se le da la topología euclidiana.
- Esta condición es equivalente a: Para cada es un barrio de en Cuándo recibe su topología única de Hausdorff TVS.
- contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional de está absorbiendo en el
- Aquí "absorber" significa absorber de acuerdo con cualquier condición definitoria distinta a esta.
- Esto muestra que la propiedad de absorber en depende solo de como se comporta con respecto a 1 (o 0) subespacios vectoriales dimensionales de
Si luego a esta lista se puede agregar:
- El interior algebraico de contiene el origen (es decir, ).
Si está equilibrado, entonces a esta lista se puede agregar:
- Para cada existe un escalar tal que [1]
Si es convexo o equilibrado, entonces a esta lista se puede agregar:
- Para cada existe un real positivo tal que
- La prueba de que un conjunto equilibrado Satisfacer esta condición es necesariamente absorber en es casi inmediato de la definición de un "conjunto equilibrado".
- La prueba de que un conjunto convexo Satisfacer esta condición es necesariamente absorber en es menos trivial (pero no difícil). En esta nota a pie de página [prueba 1] se proporciona una prueba detallada y a continuación se ofrece un resumen.
- Resumen de la prueba : por suposición, para cualquier valor distinto de cero es posible elegir real positivo y tal que y para que el conjunto convexo contiene el subintervalo abierto que contiene el origen (el conjunto también se llama intervalo porque cada subconjunto convexo no vacío dees un intervalo). Dar su topología vectorial única de Hausdorff, por lo que queda por demostrar que es un barrio del origen en Si entonces hemos terminado, así que suponga que El conjunto es una unión de dos intervalos, cada uno de los cuales contiene un subintervalo abierto que contiene el origen; además, la intersección de estos dos intervalos es precisamente el origen. Entonces el casco convexo de que está contenido en el conjunto convexo contiene claramente una bola abierta alrededor del origen.
- Para cada existe un real positivo tal que
- Esta condición es equivalente a cada perteneciente al conjunto que pasa si y solo si También se puede mostrar que para cualquier subconjunto de si y solo si para cada
- Para cada dónde
Si (que es necesario para ser absorbente) entonces es suficiente comprobar cualquiera de las condiciones anteriores para todos los distintos de cero en lugar de todos
Ejemplos y condiciones suficientes
Para que un conjunto absorba a otro
Dejar ser un mapa lineal entre espacios vectoriales y dejar y Ser conjuntos equilibrados. Luego absorbe si y solo si absorbe [2]
Si un conjunto absorbe otro conjunto entonces cualquier superconjunto de también absorbe Un conjunto absorbe el origen si y solo si el origen es un elemento de
Para que un conjunto sea absorbente
En un espacio vectorial semi-normalizado, la bola unitaria está absorbiendo. De manera más general, sies un espacio vectorial topológico (TVS), entonces cualquier vecindad del origen en está absorbiendo en Este hecho es una de las principales motivaciones para incluso definir la propiedad "absorbiendo en "
Si es un disco en luego para que en particular, es un subconjunto absorbente de [3] Por tanto, si es un disco en luego está absorbiendo en si y solo si
Cualquier superconjunto de un conjunto absorbente es absorbente. Por tanto, la unión de cualquier familia de (uno o más) conjuntos absorbentes es absorbente. La intersección de una familia finita de (uno o más) conjuntos absorbentes es absorbente.
La imagen de un conjunto absorbente bajo un operador lineal sobreyectivo es nuevamente absorbente. La imagen inversa de un subconjunto absorbente (del codominio) bajo un operador lineal es nuevamente absorbente (en el dominio).
Propiedades
Cada conjunto absorbente contiene el origen.
Si es un disco absorbente en un espacio vectorial entonces existe un disco absorbente en tal que [4]
Ver también
- Interior algebraico - Concepto matemático
- Conjunto absolutamente convexo
- Conjunto equilibrado : construcción en análisis funcional
- Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
- Conjunto convexo : en geometría, conjunto que interseca cada línea en un solo segmento de línea
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Conjunto radial
- Dominio estrella
- Conjunto simétrico
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Notas
- ^ Prueba : dejar ser un espacio vectorial sobre el campo con ser o y dotar al campo con su topología euclidiana normalizada habitual. Dejar ser un conjunto convexo tal que para cada }, existe un real positivo tal que Porque Si entonces la prueba está completa, así que asume Claramente, cada subconjunto convexo no vacío de la línea real es un intervalo (posiblemente abierto, cerrado o medio cerrado, y posiblemente acotado o ilimitado, y posiblemente incluso degenerado (es decir, un conjunto singleton )). Recuerde que la intersección de conjuntos convexos es convexa de modo que para cada los conjuntos y son convexas, donde ahora la convexidad de (que contiene el origen y está contenido en la línea ) implica que es un intervalo contenido en la línea Lema : Ahora probaremos que si entonces el intervalo contiene un subintervalo abierto que contiene el origen. Por supuesto, dado que podemos elegir algunos tal que y porqué ) también podemos elegir algunos tal que dónde y (desde ). Porque es convexo y contiene los puntos distintos y contiene el casco convexo de las puntas que (en particular) contiene el subintervalo abierto donde este subintervalo abierto contiene el origen (para ver por qué, tome que satisface ), que prueba el lema. Ahora arregla dejar Porque fue arbitrario, para demostrar que está absorbiendo en es necesario y suficiente demostrar que es un barrio del origen en Cuándo se le da su topología euclidiana de Hausdorff habitual, donde recordemos que esta topología hace que el mapa definido por en un isomorfismo TVS. Si luego el hecho de que el intervalo contiene un subintervalo abierto alrededor del origen implica que es un barrio del origen en así que terminamos. Así que asume que Escribir así que eso y eso (tan ingenuamente, es el "-eje "y es el "-eje "de para que el set (resp. ) es el estrictamente positivo -eje (resp. -eje) mientras (resp. ) es el estrictamente negativo -eje (resp. -eje)). El conjunto está contenido en el conjunto convexo de modo que el casco convexo de está contenido en Por el lema, cada uno de y son segmentos de línea (es decir, intervalos) con cada segmento que contiene el origen en un subintervalo abierto; además, se cruzan claramente en el origen. Elige un real tal que y Dejar denotar el casco convexo de que está contenido en el casco convexo de y por lo tanto también contenido en el conjunto convexo Entonces, para terminar la prueba, basta con mostrar que es un barrio de en Visto como un subconjunto del plano complejo tiene la forma de un cuadrado abierto con esquinas en positivo y negativo y -axes. Entonces se verifica fácilmente que contiene la bola abierta de radio centrado en el origen de Esto muestra que es un barrio del origen en como se desee.
Citas
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 107-110.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 441-457.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 67-113.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 149-153.
Referencias
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