Espacio Eilenberg – MacLane

Espacio topológico con homotopía concentrada en un solo grado

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , un espacio de Eilenberg-MacLane ^{[nota 1]} es un espacio topológico con un solo grupo de homotopía no trivial . Como tal, un espacio de Eilenberg-MacLane es un tipo especial de espacio topológico que puede considerarse como un componente básico de la teoría de la homotopía ; Se pueden construir espacios topológicos generales a partir de éstos mediante el sistema Postnikov . Estos espacios son importantes en muchos contextos en la topología algebraica , incluidas las construcciones de espacios, los cálculos de grupos de esferas de homotopía y la definición de operaciones de cohomología.. El nombre es para Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane , quienes introdujeron tales espacios a fines de la década de 1940.

Sea G un grupo yn un entero positivo . Un espacio topológico conectado X se denomina espacio de tipo Eilenberg-MacLane${\displaystyle K(G,n)}$, si tiene n -ésimo grupo de homotopía ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ isomorfo a G y todos los demás grupos de homotopía triviales . Si${\displaystyle n>1}$entonces G debe ser abeliano . Tal espacio existe, es un complejo CW y es único hasta una equivalencia de homotopía débil . Por abuso del lenguaje, cualquier espacio de este tipo a menudo se llama simplemente${\displaystyle K(G,n)}$.

Un espacio generalizado de Eilenberg-Maclane es un espacio que tiene el tipo de homotopía de un producto de los espacios de Eilenberg-Maclane.${\displaystyle \prod _{n}K(G_{n},n)}$.

Ejemplos

• El círculo unitario ${\displaystyle S^{1}}$ es un ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$.
• El espacio proyectivo complejo de dimensión infinita ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ es un modelo de ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$. Su anillo de cohomología es${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$, a saber, el anillo polinomial libre en un solo generador bidimensional ${\displaystyle x}$en el grado 2. El generador se puede representar en la cohomología de De Rham mediante el formulario Fubini-Study 2 .
• El espacio proyectivo real de dimensión infinita ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ es un ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$.
• La suma de cuña de k círculos unitarios ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}}$ es un ${\displaystyle K(F_{k},1)}$, donde ${\displaystyle F_{k}}$es el grupo libre sobre k generadores.
• El complemento de cualquier nudo en una esfera tridimensional ${\displaystyle S^{3}}$ es de tipo ${\displaystyle K(G,1)}$; esto se llama la " asfericidad de los nudos", y es un teorema de 1957 de Christos Papakyriakopoulos . ^[1]
• Cualquier colector compacto , conectado y no curvado positivamente M es un ${\displaystyle K(\Gamma ,1)}$, donde ${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(M)}$es el grupo fundamental de M .
• Un espacio de lente infinito dado por el cociente${\displaystyle S^{\infty }/(\mathbb {Z} /q)=L(\infty ,q)}$ es un ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /q,1)}$. Esto se puede mostrar usando la secuencia larga exacta en grupos de homotopía para la fibración.${\displaystyle \mathbb {Z} /q\to S^{\infty }\to L(\infty ,q)}$ ya que ${\displaystyle \pi _{1}(S^{\infty })=0}$porque la esfera infinita es contráctil . ^[2] Tenga en cuenta que esto incluye${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ como un ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$.
• El espacio de configuración de${\displaystyle n}$ puntos en el plano es un ${\displaystyle K(P_{n},1)}$, donde ${\displaystyle P_{n}}$es el grupo trenzado puro en${\displaystyle n}$ hebras.

Se pueden construir algunos ejemplos elementales adicionales a partir de estos utilizando el hecho de que el producto ${\displaystyle K(G,n)\times K(H,n)}$ es ${\displaystyle K(G\times H,n)}$.

A ${\displaystyle K(G,n)}$se puede construir etapa por etapa, como un complejo CW , comenzando con una cuña de n - esferas , una para cada generador del grupo G , y agregando celdas en (posiblemente un número infinito de) dimensiones más altas para matar a todas las esferas adicionales homotopía. El complejo de cadena correspondiente viene dado por la correspondencia Dold-Kan .

Comentario sobre la construcción de espacios Eilenberg-Maclane más altos

Existen múltiples técnicas para construir espacios Eilenberg-Maclane superiores. Uno de los cuales es construir un espacio de Moore. ${\displaystyle M(A,n)}$ para un grupo abeliano ${\displaystyle A}$ y matar iterativamente los grupos de homotopía superior de ${\displaystyle M(A,n)}$ ya que los grupos de homotopía inferiores ${\displaystyle \pi _{i<n}=0}$son todos triviales. Esto se sigue del teorema de Hurewicz .

Otra técnica útil es utilizar la realización geométrica de grupos abelianos simpliciales . ^[3] Esto da presentaciones explícitas de grupos abelianos simpliciales que representan espacios de Eilenberg-Maclane. Otra construcción simple, en términos de clasificación de espacios y paquetes universales , se da en el libro de J. Peter May . ^[4]

Dado que tomar el espacio del bucle reduce los grupos de homotopía en una ranura, tenemos una equivalencia canónica ${\displaystyle K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)}$, de ahí que haya una secuencia de fibración

${\displaystyle K(G,n)\to *\to K(G,n+1)}$.

Tenga en cuenta que esta no es una secuencia de cofibración: el espacio ${\displaystyle K(G,n+1)}$ no es el cofibra homotopia de ${\displaystyle K(G,n)\to *}$.

Esta secuencia de fibración se puede utilizar para estudiar la cohomología de ${\displaystyle K(G,n+1)}$ desde ${\displaystyle K(G,n)}$utilizando la secuencia espectral de Leray . Esto fue explotado por Jean-Pierre Serre mientras estudiaba los grupos homotópicos de esferas utilizando el sistema Postnikov y secuencias espectrales.

Propiedades de los espacios Eilenberg – MacLane

Biyección entre clases de homotopía de mapas y cohomología

Una propiedad importante de ${\displaystyle K(G,n)}$es que, para cualquier grupo abeliano G y cualquier complejo CW basado en X , el conjunto${\displaystyle [X,K(G,n)]}$de clases de homotopía basadas en mapas basados ​​de X a${\displaystyle K(G,n)}$está en biyección natural con el n -ésimo grupo de cohomología singular${\displaystyle H^{n}(X;G)}$del espacio X . Así se dice que el${\displaystyle [X,K(G,n)]}$se representa espacios para cohomology con coeficientes en G . Ya que

${\displaystyle H^{n}(K(G,n);G)=\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)=\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)=\operatorname {Hom} (G,G)}$,

hay un elemento distinguido ${\displaystyle u\in H^{n}(K(G,n);G)}$correspondiente a la identidad. La biyección anterior está dada por el retroceso de ese elemento:${\displaystyle f\mapsto f^{*}u}$. Esto es similar al lema de Yoneda de la teoría de categorías .

Otra versión de este resultado, debida a Peter J. Huber, establece una biyección con el n -ésimo grupo de cohomología de Čech cuando X es Hausdorff y paracompacto y G es contable , o cuando X es Hausdorff, paracompacto y compacto y G es arbitrario. Un resultado adicional de Kiiti Morita establece una biyección con el n -ésimo grupo de cohomología Čech numerable para un espacio topológico arbitrario X y G un grupo abeliano arbitrario.

Espacios de bucle

El espacio de bucle de un espacio de Eilenberg-MacLane también es un espacio de Eilenberg-MacLane:${\displaystyle \Omega K(G,n)=K(G,n-1)}$. Esta propiedad implica que los espacios de Eilenberg-MacLane con varios n forman un espectro omega , llamado espectro de Eilenberg-MacLane. Este espectro corresponde a la teoría estándar de homología y cohomología.

Functorialidad

Del teorema del coeficiente universal para la cohomología se deduce que el espacio de Eilenberg MacLane es un cuasi-functor del grupo; es decir, para cada entero positivo${\displaystyle n}$ Si ${\displaystyle a\colon G\to G'}$es cualquier homomorfismo de grupos abelianos, entonces hay una no vacía conjunto

${\displaystyle K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},}$

satisfactorio ${\displaystyle K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),}$donde ${\displaystyle [f]}$ denota la clase de homotopía de un mapa continuo ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}.}$

Relación con la torre Postnikov

Todo complejo CW posee una torre Postnikov , es decir, es homotopía equivalente a una fibración iterada cuyas fibras son espacios de Eilenberg-MacLane.

Operaciones de cohomología

Los grupos de cohomología de los espacios de Eilenberg-MacLane se pueden utilizar para clasificar todas las operaciones de cohomología .

Aplicaciones

La construcción del espacio de bucle descrita anteriormente se utiliza en la teoría de cuerdas para obtener, por ejemplo, el grupo de cuerdas , el grupo de cinco marcas, etc., como la torre Whitehead que surge de la secuencia corta exacta.

${\displaystyle 0\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0}$

con ${\displaystyle {\text{String}}(n)}$el grupo de cuerdas , y${\displaystyle {\text{Spin}}(n)}$el grupo de giro . La relevancia de${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ radica en el hecho de que existen las equivalencias de homotopía

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }$

para el espacio de clasificación ${\displaystyle B\mathbb {Z} }$y el hecho ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}$. Tenga en cuenta que debido a que el grupo de giro complejo es una extensión de grupo

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to {\text{Spin}}^{\mathbb {C} }(n)\to {\text{Spin}}(n)\to 0}$,

el grupo de cuerdas se puede considerar como una extensión de grupo de espín complejo "superior", en el sentido de la teoría de grupos superior, ya que el espacio${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$es un ejemplo de un grupo superior. Se puede pensar en la realización topológica del grupoide ${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$ cuyo objeto es un solo punto y cuyos morfismos son el grupo ${\displaystyle U(1)}$. Debido a estas propiedades homotópicas, la construcción se generaliza: cualquier espacio dado${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ se puede utilizar para iniciar una breve secuencia exacta que mata al grupo de homotopía ${\displaystyle \pi _{n+1}}$en un grupo topológico .

Ver también

• Teorema de representabilidad de Brown , respecto a los espacios de representación
• Espacio de Moore , el análogo de la homología.
• Esfera de homología

Notas

1. Saunders Mac Lane originalmente deletreó su nombre "MacLane" (sin un espacio) y co-publicó los artículos que establecían la noción de espacios Eilenberg-MacLane bajo este nombre. (Ver, por ejemplo, MR 13312 ) En este contexto, por lo tanto, es convencional escribir el nombre sin un espacio.

1. ( Papakyriakopoulos 1957 ) harv error: múltiples objetivos (2 ×): CITEREFPapakyriakopoulos1957 ( ayuda )
2. "topología general: la esfera unitaria en $ \ mathbb {R} ^ \ infty $ es contractible?" . Intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 1 de septiembre de 2020 .
3. "topología gt.geometric - Construcciones explícitas de K (G, 2)?" . MathOverflow . Consultado el 28 de octubre de 2020 .
4. Mayo, J. Peter . Un curso conciso en topología algebraica (PDF) . Capítulo 16, sección 5: University of Chicago Press .

Referencias

Artículos fundamentales

• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1945), "Relaciones entre homología y grupos de espacios de homotopía", Annals of Mathematics , (Segunda serie), 46 (3): 480–509, doi : 10.2307 / 1969165 , JSTOR  1969165 , MR  0013312
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1950). "Relaciones entre homología y grupos de espacios homotópicos. II". Annals of Mathematics . (Segunda Serie). 51 (3): 514–533. doi : 10.2307 / 1969365 . JSTOR  1969365 . Señor  0035435 .
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1954). "En los grupos H ( Π , norte ) {\ Displaystyle H (\ Pi, n)} . III. Operaciones y obstrucciones" . Annals of Mathematics . 60 (3): 513-557. Doi : 10.2307 / 1969849 . JSTOR  1.969.849 . MR  0.065.163 .

Seminario Cartan y aplicaciones

El seminario de Cartan contiene muchos resultados fundamentales sobre los espacios de Eilenberg-Maclane, incluida su homología y cohomología, y aplicaciones para calcular los grupos de esferas de homotopía.

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/

Calcular anillos de cohomología integral

• Functores derivados de los functores de poder divididos
• (Co) homología de los espacios de Eilenberg-MacLane K (G, n)

Aplicaciones

• Huber, Peter J. (1961). "Cohomología homotópica y cohomología Čech" . Mathematische Annalen . 144 (1): 73–76. doi : 10.1007 / BF01396544 . Señor  0133821 . S2CID  123536395 .
• Morita, Kiiti (1975). "Cohomología Čech y dimensión de cobertura para espacios topológicos" . Fundamenta Mathematicae . 87 : 31–52. doi : 10.4064 / fm-87-1-31-52 .
• Papakyriakopoulos, Christos D. (1957). "Sobre el lema de Dehn y la asfericidad de los nudos" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 43 (1): 169-172. doi : 10.1073 / pnas.43.1.169 . PMC  528404 . PMID  16589993 .
• Papakyriakopoulos, Christos D. (1957). "Sobre el lema de Dehn y la asfericidad de los nudos" . Annals of Mathematics . 66 (1): 1–26. doi : 10.2307 / 1970113 . JSTOR  1970113 . PMC  528404 . PMID  16589993 .

Otras referencias enciclopédicas

• Rudyak, Yu.B. (2001) [1994], "Espacio Eilenberg-MacLane" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Espacio Eilenberg-Mac Lane en nLab