En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio T 1 es un espacio topológico en el que, para cada par de puntos distintos, cada uno tiene una vecindad que no contiene al otro punto. [1] Un espacio R 0 es aquel en el que esto se cumple para cada par de puntos topológicamente distinguibles . Las propiedades T 1 y R 0 son ejemplos de axiomas de separación .
Sea X un espacio topológico y sean x e y puntos en X . Decimos que x e y pueden separarse si cada uno se encuentra en una vecindad que no contiene al otro punto.
El espacio AT 1 también se denomina espacio accesible o espacio con topología de Fréchet y un espacio R 0 también se denomina espacio simétrico . (El término espacio de Fréchet también tiene un significado completamente diferente en el análisis funcional . Por esta razón, se prefiere el término espacio T 1. También existe la noción de un espacio de Fréchet-Urysohn como un tipo de espacio secuencial . El término espacio simétrico tiene otro significado ).
Si la primera flecha se puede invertir, el espacio es R 0 . Si la segunda flecha se puede invertir, el espacio es T 0 . Si la flecha compuesta se puede invertir, el espacio es T 1 . Un espacio es T 1 si y solo si es tanto R 0 como T 0 .
Los términos "T 1 ", "R 0 " y sus sinónimos también se pueden aplicar a variaciones de espacios topológicos como espacios uniformes, espacios de Cauchy y espacios de convergencia . La característica que une el concepto en todos estos ejemplos es que los límites de los ultrafiltros fijos (o redes constantes ) son únicos (para espacios T 1 ) o únicos hasta la indistinguibilidad topológica (para espacios R 0 ).
Resulta que los espacios uniformes, y más generalmente los espacios de Cauchy, son siempre R 0 , por lo que la condición T 1 en estos casos se reduce a la condición T 0 . Pero R 0 solo puede ser una condición interesante en otros tipos de espacios de convergencia, como los espacios pretopológicos .