En topología , dos puntos de un espacio topológico X son topológicamente indistinguibles si tienen exactamente las mismas vecindades . Es decir, si x y y son puntos en X , y N x es el conjunto de todos los barrios que contienen x , y N y es el conjunto de todos los barrios que contienen y , a continuación, x y y son "topológicamente indistinguible" si y sólo si N x = N y . (Ver axiomático de Hausdorffsistemas de vecindario .)
Intuitivamente, dos puntos son topológicamente indistinguibles si la topología de X es incapaz de discernir entre los puntos.
Dos puntos de X son topológicamente distinguibles si no son topológicamente indistinguibles. Esto significa que hay un conjunto abierto que contiene precisamente uno de los dos puntos (de manera equivalente, hay un conjunto cerrado que contiene precisamente uno de los dos puntos). Este conjunto abierto se puede utilizar para distinguir entre los dos puntos. Un espacio T 0 es un espacio topológico en el que cada par de puntos distintos es topológicamente distinguible. Este es el más débil de los axiomas de separación .
Indistinguishability topológica define una relación de equivalencia en cualquier espacio topológico X . Si X y Y son puntos de X escribimos x ≡ y de " X e Y son topológicamente indistinguible". La clase de equivalencia de x se indicará con [ x ].
Ejemplos de
Para los espacios T 0 (en particular, para los espacios de Hausdorff ), la noción de indistinguibilidad topológica es trivial, por lo que uno debe buscar espacios que no sean T 0 para encontrar ejemplos interesantes. Por otro lado, regularidad y normalidad no implican T 0 , por lo que podemos encontrar ejemplos con estas propiedades. De hecho, casi todos los ejemplos que se dan a continuación son completamente regulares .
- En un espacio indiscreto , dos puntos cualesquiera son topológicamente indistinguibles.
- En un espacio pseudométrico , dos puntos son topológicamente indistinguibles si y solo si la distancia entre ellos es cero.
- En un espacio vectorial seminormado , x ≡ y si y solo si ‖ x - y ‖ = 0.
- Por ejemplo, sea L 2 ( R ) el espacio de todas las funciones medibles de R a R que son integrables al cuadrado (ver espacio L p ). Entonces dos funciones f y g en L 2 ( R ) son topológicamente indistinguible si y sólo si son iguales casi en todas partes .
- En un grupo topológico , x ≡ y si y solo si x −1 y ∈ cl { e } donde cl { e } es el cierre del subgrupo trivial . Las clases de equivalencia son solo las clases laterales de cl { e } (que siempre es un subgrupo normal ).
- Los espacios uniformes generalizan tanto los espacios pseudométricos como los grupos topológicos. En un espacio uniforme, x ≡ y si y solo si el par ( x , y ) pertenece a cada séquito . La intersección de todos los séquitos es una relación de equivalencia en X que es solo la de indistinguibilidad topológica.
- Sea X la topología inicial con respecto a una familia de funciones. A continuación, dos puntos x e y en X será topológicamente indistinguible si la familia no los separa (es decir para todos ).
- Dada cualquier relación de equivalencia en un conjunto X, existe una topología en X para la cual la noción de indistinguibilidad topológica concuerda con la relación de equivalencia dada. Uno puede simplemente tomar las clases de equivalencia como base para la topología. Esto se llama la topología de partición de X .
Reserva de especialización
La relación de indistinguibilidad topológica en un espacio X se puede recuperar de un preorden natural en X llamado preorden de especialización . Para los puntos de x y y en X este orden previo se define por
- x ≤ y si y solo si x ∈ cl { y }
donde cl { y } denota el cierre de { y }. De manera equivalente, x ≤ y si el sistema de vecindad de x , denotado N x , está contenido en el sistema de vecindad de y :
- x ≤ y si y solo si N x ⊂ N y .
Es fácil ver que esta relación en X es reflexiva y transitiva y, por lo tanto, define un preorden. Sin embargo, en general, este pedido anticipado no será antisimétrico . De hecho, la relación de equivalencia determinada por ≤ es precisamente la de indistinguibilidad topológica:
- x ≡ y si y solo si x ≤ y y y ≤ x .
Se dice que un espacio topológico es simétrico (o R 0 ) si el preorden de especialización es simétrico (es decir, x ≤ y implica y ≤ x ). En este caso, las relaciones ≤ y ≡ son idénticas. La indistinguibilidad topológica se comporta mejor en estos espacios y es más fácil de entender. Tenga en cuenta que esta clase de espacios incluye todos los espacios regulares y completamente regulares .
Propiedades
Condiciones equivalentes
Hay varias formas equivalentes de determinar cuándo dos puntos son topológicamente indistinguibles. Deje X un espacio topológico y dejar que x e y ser puntos de X . Denotan los respectivos cierres de x y y por cl { x } y cl { y }, y los respectivos sistemas de la vecindad por N x y N y . Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes:
- x ≡ y
- para cada conjunto abierto U en X , U contiene tanto x como yo ninguno de ellos
- N x = N y
- x ∈ cl { y } y y ∈ cl { x }
- cl { x } = cl { y }
- x ∈ ∩ N y e y ∈ ∩ N x
- ∩ N x = ∩ N y
- x ∈ cl { y } y x ∈ ∩ N y
- x pertenece a todo conjunto abierto y a todo conjunto cerrado que contenga y
- una red o filtro converge ax si y solo si converge ay
Estas condiciones se pueden simplificar en el caso de que X sea un espacio simétrico . Para estos espacios (en particular, para espacios regulares ), las siguientes declaraciones son equivalentes:
- x ≡ y
- para cada conjunto abierto U , si x ∈ U entonces y ∈ U
- N x ⊂ N y
- x ∈ cl { y }
- x ∈ ∩ N y
- x pertenece a todo conjunto cerrado que contenga y
- x pertenece a todo conjunto abierto que contenga y
- cada red o filtro que converge ax converge ay
Clases de equivalencia
Para discutir la clase de equivalencia de x , es conveniente definir primero los conjuntos superior e inferior de x . Ambos se definen con respecto al preorden de especialización discutido anteriormente.
El conjunto inferior de x es solo el cierre de { x }:
mientras que el conjunto superior de x es la intersección del sistema de vecindad en x :
La clase de equivalencia de x viene dada por la intersección
Dado que ↓ x es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen x y ↑ x es la intersección de todos los conjuntos abiertos que contienen x , la clase de equivalencia [ x ] es la intersección de todos los conjuntos abiertos y cerrados que contienen x .
Tanto cl { x } como ∩ N x contendrán la clase de equivalencia [ x ]. En general, ambos conjuntos también contendrán puntos adicionales. En espacios simétricos (en particular, en espacios regulares ) sin embargo, los tres conjuntos coinciden:
En general, las clases de equivalencia [ x ] se cerrarán si y solo si el espacio es simétrico.
Funciones continuas
Sea f : X → Y una función continua . Entonces para cualquier x y y en X
- x ≡ y implica f ( x ) ≡ f ( y ).
Lo contrario es generalmente falso (hay cocientes de espacios T 0 que son triviales ). Lo contrario se mantendrá si X tiene la topología inicial inducida por f . De manera más general, si X tiene la topología inicial inducida por una familia de mapas luego
- x ≡ y si y solo si f α ( x ) ≡ f α ( y ) para todo α.
De ello se deduce que dos elementos en un espacio de producto son topológicamente indistinguibles si y solo si cada uno de sus componentes es topológicamente indistinguible.
Cociente de Kolmogorov
Dado que la indistinguibilidad topológica es una relación de equivalencia en cualquier espacio topológico X , podemos formar el espacio cociente KX = X / ≡. El espacio KX se llama el cociente de Kolmogorov o T 0 identificación de X . El espacio KX es, de hecho, T 0 (es decir, todos los puntos son topológicamente distinguibles). Además, por la propiedad característica del mapa de cociente, cualquier mapa continuo f : X → Y desde X a un espacio T 0 se factoriza a través del mapa de cociente q : X → KX .
Aunque el mapa de cocientes q generalmente no es un homeomorfismo (ya que generalmente no es inyectivo ), induce una biyección entre la topología en X y la topología en KX . Intuitivamente, el cociente de Kolmogorov no altera la topología de un espacio. Simplemente reduce el conjunto de puntos hasta que los puntos se vuelven topológicamente distinguibles.
Ver también
- Espacio T 0
- Reserva de especialización