En matemáticas , la clasificación de Langlands es una descripción de las representaciones irreductibles de un grupo reductor de Lie G , sugerido por Robert Langlands (1973). Hay dos versiones ligeramente diferentes de la clasificación de Langlands. Uno de ellos describe los módulos admisibles irreductibles ( g , K ) , para g un álgebra de Lie de un grupo de Lie reductivo G , con subgrupo compacto máximo K , en términos de representaciones templadas de grupos más pequeños. Las representaciones templadas fueron a su vez clasificadas por Anthony Knapp y Gregg Zuckerman . La otra versión de la clasificación de Langlands divide las representaciones irreductibles en paquetes L y clasifica los paquetes L en términos de ciertos homomorfismos del grupo de Weil de R o C en el grupo dual de Langlands .
Notación
- g es el álgebra de Lie de un grupo de Lie reductivo real G en la clase de Harish-Chandra .
- K es un subgrupo compacto máximo de G , con álgebra de Lie k .
- ω es una involución Cartan de G , la fijación de K .
- p es el -1 autoespacio de una involución de Cartan de g .
- a es un subespacio abeliano máximo de p .
- Σ es el sistema de raíces de a en g .
- Δ es un conjunto de raíces simples de Σ.
Clasificación
La clasificación de Langlands establece que las representaciones admisibles irreductibles de ( g , K ) están parametrizadas por triples
- ( F , σ, λ)
dónde
- F es un subconjunto de Δ
- Q es el subgrupo parabólico estándar de F , con descomposición de Langlands Q = MAN
- σ es una representación templada irreductible del grupo de Lie semisimple M (hasta isomorfismo)
- λ es un elemento de Hom ( un F , C ) con α (Re (λ))> 0 para todas las raíces simples no alpha en F .
Más precisamente, la representación admisible irreductible dada por los datos anteriores es el cociente irreducible de una representación inducida parabólicamente.
Para obtener un ejemplo de la clasificación de Langlands, consulte la teoría de representación de SL2 (R) .
Variaciones
Hay varias variaciones menores de la clasificación de Langlands. Por ejemplo:
- En lugar de tomar un cociente irreductible, se puede tomar un submódulo irreducible.
- Dado que las representaciones templadas se dan a su vez como ciertas representaciones inducidas a partir de representaciones de series discretas o límite de series discretas, se pueden hacer ambas inducciones a la vez y obtener una clasificación de Langlands parametrizada por series discretas o el límite de representaciones de series discretas en lugar de representaciones templadas. El problema de hacer esto es que es complicado decidir cuándo dos representaciones irreductibles son iguales.
Referencias
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