Alexander Nikolaevich Varchenko ( ruso : Александр Николаевич Варченко , nacido el 6 de febrero de 1949) es un matemático soviético y ruso que trabaja en geometría , topología , combinatoria y física matemática .
Alexander Varchenko | |
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Nació | |
alma mater | Universidad Estatal de Moscú (1971) |
Conocido por | Teorema de Varchenko |
Carrera científica | |
Campos | Matemáticas |
Instituciones | Universidad de Carolina del norte |
Asesor de doctorado | Vladimir Arnold |
Fondo
De 1964 a 1966, Varchenko estudió en el internado número 18 de Moscú Kolmogorov para estudiantes de secundaria superdotados, donde Andrey Kolmogorov y Ya. A. Smorodinsky estaba dando conferencias sobre matemáticas y física. Varchenko se graduó de la Universidad Estatal de Moscú en 1971. Fue alumno de Vladimir Arnold . [1] Varchenko defendió su Ph.D. tesis Teoremas sobre ecualización topológica de familias de conjuntos y mapas algebraicos en 1974 y tesis de doctorado en ciencias Asintóticas de integrales e invariantes álgebro-geométricas de puntos críticos de funciones en 1982. De 1974 a 1984 fue investigador científico en la Universidad Estatal de Moscú, en 1985-1990 fue profesor en el Instituto Gubkin de Gas y Petróleo , y desde 1991 ha sido profesor Ernest Eliel en la Universidad de Carolina del Norte en Chapel Hill .
Varchenko fue orador invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1974 en Vancouver (sección de geometría algebraica) y en 1990 en Kyoto (un discurso plenario). [2] En 1973 recibió el Premio de la Sociedad Matemática de Moscú .
Investigar
En 1971, Varchenko demostró que una familia de conjuntos algebraicos cuasi-proyectivos complejos con una base irreducible forman un paquete trivial topológicamente localmente sobre un subconjunto abierto de Zariski de la base. [3] Esta declaración, conjeturado por Oscar Zariski , se había llenado un vacío en la demostración del teorema de Zariski en el grupo fundamental del complemento de un complejo algebraica hipersuperficie [4] publicado en 1937. En 1973, Varchenko demostró René Thom s' conjetura de que un germen de un mapa genérico suave es topológicamente equivalente a un germen de un mapa polinomial y tiene una deformación versal topológica polinomial de dimensión finita, mientras que los mapas no genéricos forman un subconjunto de codimensión infinita en el espacio de todos los gérmenes. [5]
Varchenko fue uno de los creadores de la teoría de los polígonos de Newton en la teoría de la singularidad, en particular, dio una fórmula, relacionando los polígonos de Newton y las asintóticas de las integrales oscilatorias asociadas con un punto crítico de una función. Usando la fórmula, Varchenko construyó un contraejemplo a la conjetura de semicontinuidad de VI Arnold de que el brillo de la luz en un punto de un cáustico no es menor que el brillo en los puntos vecinos. [6]
Varchenko formuló una conjetura sobre la semicontinuidad del espectro de un punto crítico bajo deformaciones del punto crítico y la demostró para deformaciones de bajo peso de singularidades cuasi homogéneas. Usando la semicontinuidad, Varchenko dio una estimación desde arriba del número de puntos singulares de una hipersuperficie proyectiva de grado y dimensión dados. [7]
Varchenko introdujo la estructura asintótica mixta de Hodge en la cohomología, desapareciendo en un punto crítico de una función, mediante el estudio de las asintóticas de integrales de formas diferenciales holomórficas sobre familias de ciclos de desaparición. Tal integral depende del parámetro: el valor de la función. La integral tiene dos propiedades: qué tan rápido tiende a cero, cuándo el parámetro tiende al valor crítico, y cómo cambia la integral, cuando el parámetro gira alrededor del valor crítico. La primera propiedad se utilizó para definir la filtración de Hodge de la estructura asintótica mixta de Hodge y la segunda propiedad se utilizó para definir la filtración por peso. [8]
La segunda parte del decimosexto problema de Hilbert es decidir si existe un límite superior para el número de ciclos límite en campos vectoriales polinomiales de grado dado. El problema infinitesimal número 16 de Hilbert, formulado por VI Arnold, es decidir si existe un límite superior para el número de ceros de una integral de una forma diferencial polinomial sobre una familia de curvas de nivel de un polinomio hamiltoniano en términos de los grados de la coeficientes de la forma diferencial y el grado del hamiltoniano. Varchenko demostró la existencia de la cota en el problema de Hilbert 16 infinitesimal. [9]
Vadim Schechtman y Varchenko identificaron en [10] las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov (o ecuaciones KZ) con una conexión adecuada de Gauss-Manin y construyeron soluciones hipergeométricas multidimensionales de las ecuaciones KZ. En esa construcción, las soluciones se etiquetaron con elementos de un grupo de homología adecuado. Luego, el grupo de homología se identificó con un espacio de multiplicidad del producto tensorial de representaciones de un grupo cuántico adecuado y la representación de monodromía de las ecuaciones KZ se identificó con la representación de matriz R asociada. Esta construcción dio una demostración geométrica del teorema de Kohno-Drinfeld [11] [12] sobre la monodromía de las ecuaciones KZ. Se desarrolló una imagen similar para las ecuaciones cuánticas KZ (o ecuaciones en diferencias de tipo qKZ) en trabajos conjuntos con Giovanni Felder y Vitaly Tarasov. [13] [14]
En la segunda mitad de los noventa, Felder, Pavel Etingof y Varchenko desarrollaron la teoría de los grupos cuánticos dinámicos. [15] [16] Las ecuaciones dinámicas, compatibles con las ecuaciones de tipo KZ, se introdujeron en artículos conjuntos con G. Felder, Y. Markov, V. Tarasov. [17] [18] En las aplicaciones, las ecuaciones dinámicas aparecen como las ecuaciones diferenciales cuánticas de los paquetes cotangentes de variedades parciales de bandera. [19]
En, [20] Evgeny Mukhin, Tarasov y Varchenko demostraron la conjetura de Boris Shapiro y Michael Shapiro en geometría algebraica real : [21] si el determinante de Wronski de un espacio vectorial complejo de dimensiones finitas de polinomios en una variable solo tiene raíces reales , entonces el espacio vectorial tiene una base de polinomios con coeficientes reales.
Clásicamente se sabe que el índice de intersección de las variedades de Schubert en el Grassmanniano de planos N -dimensionales coincide con la dimensión del espacio de invariantes en un producto tensorial adecuado de representaciones del grupo lineal general. En, [22] Mukhin, Tarasov y Varchenko categorizaron este hecho y mostraron que el álgebra Bethe del modelo de Gaudin en tal espacio de invariantes es isomorfo al álgebra de funciones en la intersección de las correspondientes variedades de Schubert. Como aplicación, demostraron que si las variedades de Schubert se definen con respecto a distintas banderas osculantes reales, entonces las variedades se cruzan transversalmente y todos los puntos de intersección son reales. Esta propiedad se llama la realidad del cálculo de Schubert .
Libros
- Arnolʹd, VI; Guseĭn-Zade, SM; Varchenko, AN Singularidades de mapas diferenciables. Vol. I. La clasificación de puntos críticos, cáusticos y frentes de onda. Monografías en matemáticas, 82. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985. xi + 382 págs. ISBN 0-8176-3187-9
- Arnolʹd, VI; Guseĭn-Zade, SM; Varchenko, AN Singularidades de mapas diferenciables. Vol. II. Monodromía y asintótica de integrales. Monografías en matemáticas, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1988. viii + 492 págs. ISBN 0-8176-3185-2
- Etingof, P .; Varchenko, A. Why the Boundary of a Round Drop Becomes a Curve of Order Four (Serie de conferencias universitarias), AMS 1992, ISBN 0821870025
- Varchenko, A. Funciones hipergeométricas multidimensionales y teoría de representación de álgebras de Lie y grupos cuánticos. Serie avanzada en física matemática, 21. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, Nueva Jersey, 1995. x + 371 págs. ISBN 981-02-1880-X
- Varchenko, A. Funciones especiales, ecuaciones de tipo KZ y teoría de la representación. Serie de Conferencias Regionales de CBMS en Matemáticas, 98. Publicado para la Junta de Conferencias de Ciencias Matemáticas, Washington, DC; por la Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI, 2003. viii + 118 págs. ISBN 0-8218-2867-3
Referencias
- ^ Edward Frenkel (1 de octubre de 2013). Amor y matemáticas: el corazón de la realidad oculta . Libros básicos. págs. 38 . ISBN 978-0-465-06995-8.
- ^ "Plenario de la ICM y oradores invitados desde 1897" . Congreso Internacional de Matemáticos .
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- ^ Zariski, O. (1937). "Sobre el grupo de Poincaré de hipersuperficie proyectiva". Ana. de Matemáticas . 38 (1): 131-141. doi : 10.2307 / 1968515 . JSTOR 1968515 .
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enlaces externos
- Alexander Varchenko en el Proyecto de genealogía matemática
- Página de inicio de Varchenko en el sitio web de la Universidad de Carolina del Norte