En el campo matemático de la teoría de la representación , una representación del álgebra de Lie o la representación de un álgebra de Lie es una forma de escribir un álgebra de Lie como un conjunto de matrices (o endomorfismos de un espacio vectorial ) de tal manera que el corchete de Lie viene dado por el conmutador . En el lenguaje de la física, se busca un espacio vectorial. junto con una colección de operadores en satisfaciendo algún conjunto fijo de relaciones de conmutación, como las relaciones satisfechas por los operadores de momento angular .
La noción está estrechamente relacionada con la de una representación de un grupo de Lie . En términos generales, las representaciones de las álgebras de Lie son la forma diferenciada de las representaciones de los grupos de Lie, mientras que las representaciones de la cobertura universal de un grupo de Lie son la forma integrada de las representaciones de su álgebra de Lie.
En el estudio de las representaciones de un álgebra de Lie, un anillo particular , llamado álgebra envolvente universal , asociado con el álgebra de Lie juega un papel importante. La universalidad de este anillo dice que la categoría de representaciones de un álgebra de Lie es la misma que la categoría de módulos sobre su álgebra envolvente.
Definicion formal
Dejar ser un álgebra de mentira y dejar ser un espacio vectorial. Dejamos denotar el espacio de endomorfismos de , es decir, el espacio de todos los mapas lineales de a sí mismo. Hacemos en un álgebra de Lie con corchete dado por el conmutador: para todo ρ, σ en. Entonces una representación de en es un homomorfismo del álgebra de Lie
- .
Explícitamente, esto significa que debe ser un mapa lineal y debe satisfacer
para todo X, Y en. El espacio vectorial V , junto con la representación ρ , se llama-módulo . (Muchos autores abusan de la terminología y se refieren a la propia V como la representación).
La representación Se dice que es fiel si es inyectable.
Equivalentemente se puede definir un -módulo como un espacio vectorial V junto con un mapa bilineal tal que
para todo X, Y eny v en V . Esto está relacionado con la definición anterior estableciendo X ⋅ v = ρ ( X ) ( v ).
Ejemplos de
Representaciones adjuntas
El ejemplo más básico de una representación de álgebra de Lie es la representación adjunta de un álgebra de Lie en sí mismo:
De hecho, en virtud de la identidad de Jacobi , es un homomorfismo del álgebra de Lie.
Representaciones de grupos de Lie infinitesimales
Una representación del álgebra de Lie también surge en la naturaleza. Si: G → H es un homomorfismo de grupos de Lie (reales o complejos) , y y son las álgebras de Lie de G y H respectivamente, entonces el diferencial en los espacios tangentes en las identidades hay un homomorfismo del álgebra de Lie. En particular, para un espacio vectorial de dimensión finita V , una representación de grupos de Lie
determina un homomorfismo del álgebra de Lie
de para el álgebra de Lie del grupo general lineal GL ( V ), es decir, el álgebra endomorphism de V .
Por ejemplo, deja . Entonces el diferencial de en la identidad es un elemento de . Denotándolo por uno obtiene una representación de G en el espacio vectorial. Esta es la representación adjunta de G . Aplicando lo anterior, se obtiene la representación del álgebra de Lie. Se puede demostrar que, la representación adjunta de .
Un inverso parcial a esta afirmación dice que cada representación de un álgebra de Lie de dimensión finita (real o compleja) se eleva a una representación única del grupo de Lie asociado simplemente conectado , de modo que las representaciones de los grupos de Lie simplemente conectados están en uno a uno. una correspondencia con representaciones de sus álgebras de Lie. [1]
En física cuántica
En la teoría cuántica, se consideran "observables" que son operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert . Las relaciones de conmutación entre estos operadores son entonces una herramienta importante. Los operadores de momento angular , por ejemplo, satisfacen las relaciones de conmutación
- .
Por tanto, la amplitud de estos tres operadores forma un álgebra de Lie, que es isomórfica al álgebra de Lie, por lo que (3) del grupo de rotación SO (3) . [2] Entonces si es cualquier subespacio del espacio cuántico de Hilbert que es invariante bajo los operadores de momento angular, constituirá una representación del álgebra de Lie así (3). La comprensión de la teoría de la representación de so (3) es de gran ayuda, por ejemplo, para analizar hamiltonianos con simetría rotacional, como el átomo de hidrógeno . Muchas otras álgebras de Lie interesantes (y sus representaciones) surgen en otras partes de la física cuántica. De hecho, la historia de la teoría de la representación se caracteriza por ricas interacciones entre las matemáticas y la física.
Conceptos básicos
Subespacios invariantes e irreductibilidad
Dada una representación de un álgebra de mentira , decimos que un subespacio de es invariante si para todos y . Se dice que una representación distinta de cero es irreductible si los únicos subespacios invariantes son sí mismo y el espacio cero . El término módulo simple también se utiliza para una representación irreducible.
Homomorfismos
Dejar ser un álgebra de mentira . Dejar que V , W sea-módulos. Luego un mapa lineales un homomorfismo de-módulos si es -equivariante; es decir, para cualquier . Si f es biyectiva,se dice que son equivalentes . Estos mapas también se conocen como mapas entrelazados o morfismos .
De manera similar, muchas otras construcciones de la teoría de módulos en álgebra abstracta se trasladan a esta configuración: submódulo, cociente, subcociente, suma directa, serie de Jordan-Hölder, etc.
Lema de Schur
Una herramienta simple pero útil para estudiar representaciones irreductibles es el lema de Schur. Tiene dos partes: [3]
- Si V , W son irreductibles-módulos y es un homomorfismo, entonces es cero o un isomorfismo.
- Si V es un irreducible-módulo sobre un campo algebraicamente cerrado y es un homomorfismo, entonces es un múltiplo escalar de la identidad.
Reducibilidad completa
Sea V una representación de un álgebra de Lie. Entonces se dice que V es completamente reducible (o semisimple) si es isomorfo a una suma directa de representaciones irreductibles (cf. módulo semisimple ). Si V es de dimensión finita, entonces V es completamente reducible si y solo si todo subespacio invariante de V tiene un complemento invariante. (Es decir, si W es un subespacio invariante, entonces hay otro subespacio invariante P tal que V es la suma directa de W y P ).
Si es un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo de característica cero y V es de dimensión finita, entonces V es semisimple; este es el teorema de reducibilidad completo de Weyl . [4] Así, para álgebras de Lie semisimple, una clasificación de representaciones irreductibles (es decir, simples) conduce inmediatamente a la clasificación de todas las representaciones. Para otros álgebra de Lie, que no tienen esta propiedad especial, clasificar las representaciones irreductibles puede no ayudar mucho a clasificar las representaciones generales.
Se dice que un álgebra de Lie es reductiva si la representación adjunta es semisimple. Ciertamente, cada álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita)es reductivo, ya que toda representación dees completamente reducible, como acabamos de señalar. En la otra dirección, la definición de un álgebra de Lie reductiva significa que se descompone como una suma directa de ideales (es decir, subespacios invariantes para la representación adjunta) que no tienen subideales no triviales. Algunos de estos ideales serán unidimensionales y el resto son simples álgebras de Lie. Por lo tanto, un álgebra de Lie reductiva es una suma directa de un álgebra conmutativa y un álgebra semisimple.
Invariantes
Se dice que un elemento v de V es-invariante si para todos . El conjunto de todos los elementos invariantes se denota por.
Construcciones basicas
Productos tensoriales de representaciones
Si tenemos dos representaciones de un álgebra de Lie , con V 1 y V 2 como sus espacios vectoriales subyacentes, entonces el producto tensorial de las representaciones tendría V 1 ⊗ V 2 como el espacio vectorial subyacente, con la acción de determinado únicamente por el supuesto de que
para todos y .
En el lenguaje de los homomorfismos, esto significa que definimos por la fórmula
- . [5]
En la literatura de física, el producto tensorial con el operador de identidad a menudo se suprime en la notación, con la fórmula escrita como
- ,
donde se entiende que actúa sobre el primer factor en el producto tensorial y actúa sobre el segundo factor en el producto tensorial. En el contexto de las representaciones del álgebra de Lie su (2), el producto tensorial de las representaciones se denomina "suma de momento angular". En este contexto, podría, por ejemplo, ser el momento angular orbital mientras es el momento angular de giro.
Representaciones duales
Dejar ser un álgebra de mentira y ser una representación de . Dejar ser el espacio dual, es decir, el espacio de funcionales lineales en . Entonces podemos definir una representación por la fórmula
donde para cualquier operador , el operador de transposición se define como la "composición con "operador:
El signo menos en la definición de es necesario para asegurar que es en realidad una representación de , a la luz de la identidad
Si trabajamos en una base, entonces la transposición en la definición anterior se puede interpretar como la transposición de la matriz ordinaria.
Representación en mapas lineales
Dejar ser -módulos, un álgebra de mentira. Luego se convierte en un -módulo por configuración . En particular,; es decir, elhomomorfismos de módulo de a son simplemente los elementos de que son invariantes bajo la acción recién definida de en . Si tomamos para ser el campo base, recuperamos la acción de en dado en el inciso anterior.
Teoría de representación de álgebras de Lie semisimple
Véase Teoría de representación de álgebras de Lie semisimple .
Álgebras envolventes
A cada álgebra de mentira sobre un campo k , se puede asociar un cierto anillo llamado álgebra envolvente universal de y denotado . La propiedad universal del álgebra envolvente universal garantiza que toda representación de da lugar a una representación de . Por el contrario, el teorema PBW nos dice que se sienta adentro , de modo que cada representación de puede estar restringido a . Por tanto, existe una correspondencia biunívoca entre las representaciones de y los de .
El álgebra envolvente universal juega un papel importante en la teoría de representación de álgebras de Lie semisimple, descrita anteriormente. Específicamente, las representaciones irreductibles de dimensión finita se construyen como cocientes de módulos Verma , y los módulos Verma se construyen como cocientes del álgebra envolvente universal. [6]
La construcción de es como sigue. [7] Sea T el álgebra tensorial del espacio vectorial. Así, por definición, y la multiplicación está dada por . Dejarser el anillo cociente de T por el ideal generado por elementos de la forma
- .
Hay un mapa lineal natural de dentro obtenido al restringir el mapa de cocientes de al grado de una pieza. El teorema de PBW implica que el mapa canónico es en realidad inyectivo. Por lo tanto, cada álgebra de mentira se puede incrustar en un álgebra asociativa de tal manera que el soporte en es dado por en .
Si es abeliano , entonces es el álgebra simétrica del espacio vectorial .
Desde es un módulo sobre sí mismo a través de la representación adjunta, el álgebra envolvente se convierte en un -módulo ampliando la representación adjunta. Pero también se puede usar la representación regular izquierda y derecha para hacer que el álgebra envolvente sea un-módulo; es decir, con la notación, el mapeo define una representación de en . La representación regular derecha se define de manera similar.
Representación inducida
Dejar ser un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica cero y una subálgebra. actúa sobre desde la derecha y así, para cualquier -módulo W , se puede formar la izquierda-módulo . Es un-módulo denotado por y llamó al -module inducida por W . Satisface (y de hecho se caracteriza por) la propiedad universal: para cualquier-módulo E
- .
Además, es un funtor exacto de la categoría de -módulos a la categoría de -módulos. Estos utilizan el hecho de que es un módulo de derecho gratuito sobre . En particular, sies simple (resp. absolutamente simple), entonces W es simple (resp. absolutamente simple). Aquí un-módulo V es absolutamente simple si es simple para cualquier extensión de campo .
La inducción es transitiva: para cualquier subálgebra de mentira y cualquier subálgebra de mentira . La inducción conmuta con restricción: deje ser subálgebra y un ideal de que está contenido en . Colocar y . Luego.
Representaciones de dimensión infinita y "categoría O"
Dejar ser un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo de característica cero. (en el caso solucionable o nilpotente, se estudian los ideales primitivos del álgebra envolvente; cf. Dixmier para la explicación definitiva).
La categoría de módulos (posiblemente de dimensión infinita) sobre resulta ser demasiado grande, especialmente para que los métodos de álgebra homológica sean útiles: se advirtió que una categoría de subcategoría O más pequeña es un lugar mejor para la teoría de la representación en el caso semisimple en característica cero. Por ejemplo, la categoría O resultó ser del tamaño adecuado para formular la célebre reciprocidad de BGG. [8]
(g, K) -módulo
Una de las aplicaciones más importantes de las representaciones del álgebra de Lie es la teoría de la representación del grupo de Lie reductivo real. La aplicación se basa en la idea de que sies una representación en el espacio de Hilbert de, digamos, un grupo de Lie lineal semisimple real conectado G , entonces tiene dos acciones naturales: la complexificacióny el subgrupo K compacto máximo conectado . La-estructura del módulo de permite aplicar métodos algebraicos especialmente homológicos y -La estructura del módulo permite realizar el análisis de armónicos de forma similar a la de los grupos de Lie semisimple compactos conectados.
Representación en un álgebra
Si tenemos una superalgebra L de Lie , entonces una representación de L en un álgebra es un álgebra A graduada Z 2 (no necesariamente asociativa ) que es una representación de L como un espacio vectorial graduado Z 2 y, además, los elementos de L actúan como derivaciones / antiderivations en A .
Más específicamente, si H es un elemento puro de L y x y y son elementos puros de A ,
- H [ xy ] = ( H [ x ]) y + (−1) xH x ( H [ y ])
Además, si A es unital , entonces
- H [1] = 0
Ahora, para el caso de una representación de un álgebra de Lie , simplemente descartamos todas las graduaciones y el (-1) a algunos factores de potencia.
Un (super) álgebra de mentira es un álgebra y tiene una representación adjunta de sí mismo. Esta es una representación en un álgebra: la propiedad (anti) derivación es la identidad súper Jacobi .
Si un espacio vectorial es tanto un álgebra asociativa como un álgebra de Lie y la representación adjunta del álgebra de Lie sobre sí misma es una representación de un álgebra (es decir, actúa por derivaciones sobre la estructura del álgebra asociativa), entonces es un álgebra de Poisson . La observación análoga para las superalgebras de Lie da la noción de una superalgebra de Poisson .
Ver también
- Representación de un grupo de Lie
- Peso (teoría de la representación)
- Teorema de Weyl sobre reducibilidad completa
- Sistema raíz
- Fórmula de carácter de Weyl
- Teoría de representación de un grupo de Lie compacto conectado
- Lema de Whitehead (álgebras de Lie)
- Conjeturas de Kazhdan-Lusztig
- Lema de Quillen - análogo del lema de Schur
Notas
- ^ Teorema 5.6 de Hall 2015
- ^ Salón 2013 Sección 17.3
- ^ Teorema 4.29 de Hall 2015
- ^ Dixmier 1977 , Teorema 1.6.3
- ^ Salón 2015 Sección 4.3
- ^ Salón 2015 Sección 9.5
- ↑ Jacobson, 1962
- ^ ¿Por qué la categoría O de BGG?
Referencias
- Bernstein IN, Gelfand IM, Gelfand SI, "Estructura de representaciones que son generadas por vectores de mayor peso", Funcional. Anal. Apl. 5 (1971)
- Dixmier, J. (1977), Álgebras envolventes , Amsterdam, Nueva York, Oxford: Holanda Septentrional, ISBN 0-444-11077-1.
- A. Beilinson y J. Bernstein, "Localización de g-módulos", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, vol. 292, edición. 1, págs. 15-18, 1981.
- Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1990). A. van Groesen; EM de Jager (eds.). Álgebras de Lie de dimensión finita e infinita y su aplicación en física . Estudios de física matemática. 1 . Holanda Septentrional. ISBN 0-444-88776-8.
- Bäuerle, GGA; de Kerf, EA; ten Kroode, APE (1997). A. van Groesen; EM de Jager (eds.). Álgebras de Lie de dimensión finita e infinita y su aplicación en física . Estudios de física matemática. 7 . Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-82836-1- a través de ScienceDirect .
- Fulton, W .; Harris, J. (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 .
- D. Gaitsgory, teoría de la representación geométrica, matemáticas 267y, otoño de 2005
- Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
- Ryoshi Hotta, Kiyoshi Takeuchi, Toshiyuki Tanisaki, módulos D, gavillas perversas y teoría de la representación ; traducido por Kiyoshi Takeuch
- Humphreys, James (1972), Introducción a las álgebras de mentiras y teoría de la representación , Textos de posgrado en matemáticas, 9 , Springer, ISBN 9781461263982
- N. Jacobson, álgebras de Lie , Courier Dover Publications, 1979.
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- Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond and Introduction (segunda ed.), Birkhauser
Otras lecturas
- Ben-Zvi, David; Nadler, David (2012). "Localización de Beilinson-Bernstein sobre el centro de Harish-Chandra". arXiv : 1209.0188v1 [ math.RT ].