En matemáticas , la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch es una secuencia espectral para calcular la cohomología generalizada , introducida por Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch ( 1961 ) en el caso especial de la teoría K topológica . Para un complejo CW
y una teoría de la cohomología generalizada
, relaciona los grupos de cohomología generalizada
![{\ Displaystyle E ^ {i} (X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con grupos de cohomología 'ordinarios'
con coeficientes en la cohomología generalizada de un punto. Más precisamente, el
término de la secuencia espectral es
, y la secuencia espectral converge condicionalmente a
.
Atiyah e Hirzebruch señalaron una generalización de su secuencia espectral que también generaliza la secuencia espectral de Serre , y se reduce a ella en el caso en que
. Puede derivarse de un par exacto que da la
página de la secuencia espectral de Serre, excepto con los grupos de cohomología ordinarios reemplazados por
. En detalle, asuma
ser el espacio total de una fibración Serre con fibra
y espacio base
. La filtración de
por esto
-esqueletos
da lugar a una filtración de
. Hay una secuencia espectral correspondiente con
término
![{\ Displaystyle H ^ {p} (B; E ^ {q} (F))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y colindando con el anillo graduado asociado del anillo filtrado
.
Esta es la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch en el caso donde la fibra
es un punto.
Teoría K topológica
Por ejemplo, el complejo topológico
-la teoría de un punto es
dónde
está en grado ![2](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto implica que los términos del
-página de un complejo CW finito
parece
![{\displaystyle E_{2}^{p,q}(X)=H^{p}(X;KU^{q}(pt))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Desde el
-la teoría de un punto es
![{\displaystyle K^{q}(pt)={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if q is even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
siempre podemos garantizar que
![{\displaystyle E_{2}^{p,2k+1}(X)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto implica que la secuencia espectral colapsa en
para muchos espacios. Esto se puede comprobar en cada
, curvas algebraicas o espacios con cohomología distinta de cero en grados pares. Por lo tanto, colapsa para todas las intersecciones completas lisas (complejas) incluso dimensionales en
.
Paquete cotangente en un círculo
Por ejemplo, considere el paquete cotangente
. Este es un haz de fibras con fibra.
entonces el
-página se lee como
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\vdots &\vdots &\vdots \\2&H^{0}(S^{1};\mathbb {Q} )&H^{1}(S^{1};\mathbb {Q} )\\1&0&0\\0&H^{0}(S^{1};\mathbb {Q} )&H^{1}(S^{1};\mathbb {Q} )\\-1&0&0\\-2&H^{0}(S^{1};\mathbb {Q} )&H^{1}(S^{1};\mathbb {Q} )\\\vdots &\vdots &\vdots \\\hline &0&1\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Diferenciales
Los diferenciales de dimensión impar de la AHSS para la teoría K topológica compleja se pueden calcular fácilmente. Para
es la plaza Steenrod
donde lo tomamos como la composición
![{\displaystyle \beta \circ Sq^{2}\circ r}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es mod de reducción
y
es el homomorfismo de Bockstein (morfismo de conexión) de la secuencia corta exacta
![{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\to 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Intersección completa 3 veces
Considere una intersección completa suave en tres partes
(como una intersección completa Calabi-Yau triple). Si miramos el
-página de la secuencia espectral
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\2&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{6}(X;\mathbb {Z} )\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{6}(X;\mathbb {Z} )\\-1&0&0&0&0&0&0&0\\-2&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{6}(X;\mathbb {Z} )\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline &0&1&2&3&4&5&6\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
podemos ver de inmediato que los únicos diferenciales potencialmente no triviales son
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{3}:E_{3}^{0,2k}\to E_{3}^{3,2k-2}\\d_{3}:E_{3}^{3,2k}\to E_{3}^{6,2k-2}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Resulta que estos diferenciales desaparecen en ambos casos, por lo que
. En el primer caso, desde
es trivial para
tenemos el primer conjunto de diferenciales que son cero. El segundo conjunto es trivial porque
envía
la identificacion
muestra que el diferencial es trivial.
Teoría K retorcida
La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch también se puede utilizar para calcular grupos de teoría K retorcidos. En resumen, la teoría K retorcida es la finalización grupal de las clases de isomorfismo de paquetes de vectores definidos mediante el encolado de datos.
dónde
![{\displaystyle g_{ij}g_{jk}g_{ki}=\lambda _{ijk}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para alguna clase de cohomología
. Luego, la secuencia espectral se lee como
![{\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X;KU^{q}(*))\Rightarrow KU_{\lambda }^{p+q}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
pero con diferenciales diferentes. Por ejemplo,
![{\displaystyle E_{3}^{p,q}=E_{2}^{p,q}={\begin{array}{c|cccc}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\2&H^{0}(S^{3};\mathbb {Z} )&0&0&H^{3}(S^{3};\mathbb {Z} )\\1&0&0&0&0\\0&H^{0}(S^{3};\mathbb {Z} )&0&0&H^{3}(S^{3};\mathbb {Z} )\\-1&0&0&0&0\\-2&H^{0}(S^{3};\mathbb {Z} )&0&0&H^{3}(S^{3};\mathbb {Z} )\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline &0&1&2&3\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sobre el
-página el diferencial es
![{\displaystyle d_{3}=Sq^{3}+\lambda }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Diferenciales de dimensiones impares más altos
son dados por los productos Massey para la teoría K retorcida tensada por
. Entonces
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{5}&=\{\lambda ,\lambda ,-\}\\d_{7}&=\{\lambda ,\lambda ,\lambda ,-\}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenga en cuenta que si el espacio subyacente es formal , lo que significa que su tipo de homotopía racional está determinado por su cohomología racional, por lo tanto, tiene productos de Massey que desaparecen, entonces los diferenciales de dimensión impar son cero. Pierre Deligne , Phillip Griffiths , John Morgan y Dennis Sullivan demostraron esto para todos los colectores compactos de Kähler , por lo tanto
en este caso. En particular, esto incluye todas las variedades proyectivas suaves.
Teoría K retorcida de 3 esferas
La retorcida teoría K para
se puede calcular fácilmente. En primer lugar, ya que
y
, tenemos que el diferencial en el
-página es simplemente cata con la clase dada por
. Esto da el cálculo
![{\displaystyle KU_{\lambda }^{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k{\text{ is even}}\\\mathbb {Z} /\lambda &k{\text{ is odd}}\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Bordismo racional
Recordemos que el grupo de bordismo racional
es isomorfo al anillo
![{\displaystyle \mathbb {Q} [[\mathbb {CP} ^{0}],[\mathbb {CP} ^{2}],[\mathbb {CP} ^{4}],[\mathbb {CP} ^{6}],\ldots ]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
generado por las clases de bordismo de los (complejos) espacios proyectivos incluso dimensionales
en grado
. Esto da una secuencia espectral computacionalmente manejable para calcular los grupos de bordismo racionales.
Cobordismo complejo
Recordar que
dónde
. Entonces, podemos usar esto para calcular el cobordismo complejo de un espacio
a través de la secuencia espectral. Tenemos el
-página dada por
![{\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X;MU^{q}(pt))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)