En matemáticas , un sistema autónomo o ecuación diferencial autónoma es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que no depende explícitamente de la variable independiente . Cuando la variable es el tiempo, también se denominan sistemas invariantes en el tiempo .
Muchas leyes de la física , donde generalmente se supone que la variable independiente es el tiempo , se expresan como sistemas autónomos porque se supone que las leyes de la naturaleza que se aplican ahora son idénticas a las de cualquier punto del pasado o del futuro.
Los sistemas autónomos están estrechamente relacionados con los sistemas dinámicos . Cualquier sistema autónomo puede transformarse en un sistema dinámico [ cita requerida ] y, usando supuestos muy débiles [ cita requerida ] , un sistema dinámico puede transformarse en un sistema autónomo [ cita requerida ] .
Definición
Un sistema autónomo es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
donde x toma valores en el espacio euclidiano n- dimensional ; A menudo se interpreta como tiempo.
Se distingue de los sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma
en el que la ley que rige la evolución del sistema no depende únicamente del estado actual del sistema, sino también del parámetro t , nuevamente interpretado a menudo como tiempo; estos sistemas, por definición, no son autónomos.
Propiedades
Las soluciones son invariantes en las traducciones horizontales:
Dejar Ser una solución única del problema del valor inicial para un sistema autónomo.
Luego resuelve
De hecho, denotando tenemos y , por lo tanto
Para la condición inicial, la verificación es trivial,
Ejemplo
La ecuacion es autónoma, ya que la variable independiente, llamémosla , no aparece explícitamente en la ecuación. Para trazar el campo de pendiente y la isoclina para esta ecuación, se puede usar el siguiente código en GNU Octave / MATLAB
Ffun = @ ( X , Y ) ( 2 - Y ) . * Y ; % función f (x, y) = (2-y) y [ X , Y ] = cuadrícula de malla ( 0 : .2 : 6 , - 1 : .2 : 3 ); % elige los tamaños de parcela DY = Ffun ( X , Y ); DX = unos ( tamaño ( DY )); % genera los valores de la parcela carcaj ( X , Y , DX , DY , 'k' ); % traza el campo de dirección en negro mantener en ; contorno ( X , Y , DY , [ 0 1 2 ], 'g' ); % agrega las isoclinas (0 1 2) en verde title ( 'Campo de pendiente e isoclinas para f (x, y) = (2-y) y' )
Se puede observar en la gráfica que la función es -invariante, y también lo es la forma de la solución, es decir para cualquier turno .
Resolviendo la ecuación simbólicamente en MATLAB , ejecutando
syms y (x) ; ecuación = ( diff ( y ) == ( 2 - y ) * y ); % resuelve simbólicamente la ecuación para una solución generaly_general = dsolve ( ecuación );
obtenemos dos soluciones de equilibrio , y , y una tercera solución que involucra una constante desconocida , .-2 / (exp(C3 - 2 * x) - 1)
Tomando algunos valores específicos para la condición inicial , podemos agregar la gráfica de varias soluciones
% resuelve simbólicamente el problema del valor inicial% para diferentes condiciones inicialesy1 = dsolve ( ecuación , y ( 1 ) == 1 ); y2 = dsolve ( ecuación , y ( 2 ) == 1 ); y3 = dsolve ( ecuación , y ( 3 ) == 1 ); y4 = dsolve ( ecuación , y ( 1 ) == 3 ); y5 = dsolve ( ecuación , y ( 2 ) == 3 ); y6 = dsolve ( ecuación , y ( 3 ) == 3 ); % trazar las solucionesezplot ( y1 , [ 0 6 ]); ezplot ( y2 , [ 0 6 ]); ezplot ( y3 , [ 0 6 ]); ezplot ( y4 , [ 0 6 ]); ezplot ( y5 , [ 0 6 ]); ezplot ( y6 , [ 0 6 ]); title ( 'Campo de pendiente, isoclinas y soluciones para f (x, y) = (2-y) y' )leyenda ( 'Campo de pendiente' , 'Isoclinas' , 'Soluciones y_ {1..6}' ); texto ([ 1 2 3 ], [ 1 1 1 ], strcat ( '\ leftarrow' , { 'y_1' , 'y_2' , 'y_3' })); texto ([ 1 2 3 ], [ 3 3 3 ], strcat ( '\ leftarrow' , { 'y_4' , 'y_5' , 'y_6' })); cuadrícula encendida ;
Analisis cualitativo
Los sistemas autónomos se pueden analizar cualitativamente utilizando el espacio de fase ; en el caso de una variable, esta es la línea de fase .
Técnicas de solución
Las siguientes técnicas se aplican a ecuaciones diferenciales autónomas unidimensionales. Cualquier ecuación de orden unidimensional es equivalente a un -sistema de primer orden dimensional (como se describe en la reducción a un sistema de primer orden ), pero no necesariamente al revés.
Primer orden
La ecuación autónoma de primer orden
es separable , por lo que se puede resolver fácilmente reorganizándolo en la forma integral
Segundo orden
La ecuación autónoma de segundo orden
es más difícil, pero se puede resolver [2] introduciendo la nueva variable
y expresando la segunda derivada dea través de la regla de la cadena como
para que la ecuación original se convierta en
que es una ecuación de primer orden que no contiene ninguna referencia a la variable independiente . Resolver proporciona como una función de . Luego, recordando la definición de:
que es una solución implícita.
Caso especial: x '' = f ( x )
El caso especial donde es independiente de
se beneficia de un tratamiento separado. [3] Este tipo de ecuaciones son muy comunes en la mecánica clásica porque siempre son sistemas hamiltonianos .
La idea es hacer uso de la identidad
que se deriva de la regla de la cadena , salvo cualquier problema debido a la división por cero .
Al invertir ambos lados de un sistema autónomo de primer orden, uno puede integrarse inmediatamente con respecto a :
que es otra forma de ver la técnica de separación de variables. ¿Podemos hacer algo como esto con ecuaciones de orden superior? La respuesta es sí para las ecuaciones de segundo orden, pero hay más trabajo por hacer. La segunda derivada debe expresarse como una derivada con respecto a en vez de :
Para volver a enfatizar: lo que se ha logrado es que la segunda derivada con respecto a se ha expresado como un derivado de . La ecuación original de segundo orden ahora se puede integrar:
Ésta es una solución implícita. El mayor problema potencial es la imposibilidad de simplificar las integrales, lo que implica dificultad o imposibilidad para evaluar las constantes de integración.
Caso especial: x '' = x ' n f ( x )
Usando el enfoque anterior, podemos extender la técnica a la ecuación más general
dónde es algún parámetro que no es igual a dos. Esto funcionará ya que la segunda derivada se puede escribir en una forma que involucre una potencia de. Reescribiendo la segunda derivada, reordenando y expresando el lado izquierdo como una derivada:
La derecha llevará +/− si incluso. El tratamiento debe ser diferente si:
Órdenes superiores
No existe un método análogo para resolver ecuaciones autónomas de tercer o mayor orden. Tales ecuaciones solo pueden resolverse exactamente si tienen alguna otra propiedad simplificadora, por ejemplo, linealidad o dependencia del lado derecho de la ecuación de la variable dependiente solamente [4] [5] (es decir, no sus derivadas). Esto no debería sorprender, considerando que los sistemas autónomos no lineales en tres dimensiones pueden producir un comportamiento verdaderamente caótico como el atractor de Lorenz y el atractor de Rössler .
Con esta mentalidad, tampoco es de extrañar que las ecuaciones generales no autónomas de segundo orden no puedan resolverse explícitamente, ya que también pueden ser caóticas (un ejemplo de esto es un péndulo forzado periódicamente [6] ).
Caso multivariado
Ahora tenemos , dónde es un -vector de columna dimensional dependiente de .
La solucion es dónde es un vector constante. [7]
Ver también
- Sistema invariante en el tiempo
- Sistema no autónomo (matemáticas)
Referencias
- ^ Matemáticas de Egwald - Álgebra lineal: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: Análisis de estabilidad lineal Consultado el 10 de octubre de 2019.
- ^ Boyce, William E .; Richard C. DiPrima (2005). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de volumen en la frontera (8ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 133. ISBN 0-471-43338-1.
- ^ "Ecuación autónoma de segundo orden" (pdf) . Eqworld . Consultado el 28 de febrero de 2021 .
- ^ Ecuación autónoma de tercer orden en eqworld .
- ^ Ecuación autónoma de cuarto orden en eqworld .
- ^ Blanchard; Devaney ; Hall (2005). Ecuaciones diferenciales . Brooks / Cole Publishing Co. págs. 540–543. ISBN 0-495-01265-3.
- ^ "Método de Matriz Exponencial" . Math24 . Consultado el 28 de febrero de 2021 .