En matemáticas , específicamente en la teoría de conjuntos axiomáticos , un número de Hartogs es un número ordinal asociado con un conjunto. En particular, si X es cualquier conjunto , entonces el número Hartogs de X es el menos ordinal α tal que no hay inyección de α en X . Si X puede ser bien ordenado entonces el número cardinal de α es un mayor cardinal mínimo que el de X . Si X no puede estar bien ordenado, entonces no puede haber una inyección de Xa α. Sin embargo, el número cardinal de α es todavía un cardenal mínimo no menor que o igual a la cardinalidad de X . (Si restringimos a los números cardinales de conjuntos bien ordenables, entonces el de α es el más pequeño que no es menor o igual que el de X ). El mapa que lleva X a α a veces se llama función de Hartogs . Este mapeo se usa para construir los números aleph, que son todos los números cardinales de infinitos conjuntos bien ordenados.
Friedrich Hartogs demostró la existencia del número de Hartogs en 1915, utilizando únicamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (es decir, sin utilizar el axioma de elección ).
Teorema de Hartogs
El teorema de Hartogs establece que para cualquier conjunto X , existe un ordinal α tal que; es decir, tal que no hay inyección de α a X . Como se bien ordenadas ordinales, esto implica inmediatamente la existencia de un número Hartogs para cualquier conjunto X . Además, la demostración es constructiva y arroja el número X de Hartogs .
Prueba
Ver Goldrei 1996 .
Dejar ser la clase de todos los números ordinales ß para los que una función inyectiva existe desde β en X .
Primero, verificamos que α es un conjunto.
- X × X es un conjunto, como se puede ver en Axiom of power set .
- El conjunto de potencias de X × X es un conjunto, según el axioma de conjunto de potencias.
- La clase W de todos los ordenamientos de pozo reflexivos de subconjuntos de X es una subclase definible del conjunto anterior, por lo que es un conjunto por el esquema de axioma de separación .
- La clase de todos los tipos de orden de ordenación de pozos en W es un conjunto por el esquema de axioma de reemplazo , como
- (Dominio ( w ), w ) ( β , ≤)
- se puede describir mediante una fórmula simple.
Pero este último conjunto es exactamente α . Ahora bien, debido a que un conjunto transitivo de ordinales es nuevamente un ordinal, α es un ordinal. Además, no hay inyección de α en X , porque si la hubiera, entonces obtendríamos la contradicción de que α ∈ α . Y, por último, α es el menos tal ordinal sin inyección en X . Esto es cierto porque, desde α es un ordinal, para cualquier β < α , β ∈ α por lo que es una inyección de β en X .
Comentario histórico
En 1915, Hartogs no podía usar ni los ordinales de von Neumann ni el axioma de reemplazo , por lo que su resultado es uno de la teoría de conjuntos de Zermelo y parece bastante diferente de la exposición moderna anterior. En cambio, se considera el conjunto de clases de isomorfismo de subconjuntos bien ordenadas de X y la relación en la que la clase de A precede a la de B si A es isomorfo con un segmento inicial apropiada de B . Hartogs mostró que se trata de un mayor bien ordenar que cualquier subconjunto bien ordenada de X . (Esta debe haber sido históricamente la primera construcción genuina de un ordenamiento incontable .) Sin embargo, el propósito principal de su contribución fue mostrar que la tricotomía para números cardinales implica el teorema del ordenamiento correcto ( entonces de 11 años) (y, por lo tanto, , el axioma de elección).
Ver también
Referencias
- Goldrei, Derek (1996). Teoría clásica de conjuntos . Chapman y Hall .
- Hartogs, Fritz (1915). "Über das Problem der Wohlordnung" . Mathematische Annalen (en alemán). 76 (4): 438–443. doi : 10.1007 / BF01458215 . JFM 45.0125.01 . S2CID 121598654 .
- Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos, edición del tercer milenio (revisada y ampliada) . Saltador. ISBN 3-540-44085-2.
- Charles Morgan. "Teoría de conjuntos axiomáticos" (PDF) . Notas del curso . Universidad de Bristol . Consultado el 10 de abril de 2010 .