En matemáticas , el grupo octaédrico binario , llamado 2O o ⟨2,3,4⟩ es un cierto grupo no beliano de orden 48. Es una extensión del grupo octaédrico quiral O o (2,3,4) de orden 24 por un grupo cíclico de orden 2, y es la preimagen del grupo octaédrico bajo el homomorfismo de cobertura 2: 1 del grupo ortogonal especial por el grupo de espín . De ello se deduce que el grupo octaédrico binario es un subgrupo discreto de Spin (3) de orden 48.
El grupo octaédrico binario se describe más fácilmente concretamente como un subgrupo discreto de los cuaterniones unitarios , bajo el isomorfismodonde Sp (1) es el grupo multiplicativo de cuaterniones unitarios. (Para obtener una descripción de este homomorfismo, consulte el artículo sobre cuaterniones y rotaciones espaciales ).
Elementos
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Binary_octahedral_group_elements_12-fold.svg/250px-Binary_octahedral_group_elements_12-fold.svg.png)
* 1 orden-1: 1
* 1 orden-2: -1
* 6 orden-4: ± i, ± j, ± k
* 12 orden-8: (± 1 ± i) / √ 2, (± 1 ± j) / √2, (± 1 ± k) / √2
* 12 orden-4: (± i ± j) / √2, (± i ± k) / √2, (± j ± k) / √2
* 8 orden-6, (+ 1 ± i ± j ± k) / 2
* 8 orden-3, (-1 ± i ± j ± k) / 2.
Explícitamente, el grupo octaédrico binario se da como la unión de las 24 unidades de Hurwitz
con los 24 cuaterniones obtenidos de
mediante una permutación de coordenadas y todas las posibles combinaciones de signos. Los 48 elementos tienen valor absoluto 1 y, por lo tanto, se encuentran en el grupo de cuaterniones unitarios Sp (1).
Propiedades
El grupo octaédrico binario, denotado por 2 O , encaja en la secuencia corta exacta
Esta secuencia no dividida , lo que significa que 2 O es no un producto semidirecto de {± 1} por O . De hecho, no hay ningún subgrupo de 2 O isomorfo a O .
El centro de 2 O es el subgrupo {± 1}, de modo que el grupo de automorfismos interior es isomorfo a O . El grupo de automorfismos completo es isomorfo a O × Z 2 .
Presentación
El grupo 2 O tiene una presentación a cargo de
o equivalente,
Los generadores de cuaterniones con estas relaciones están dados por
con
Subgrupos
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Binary_octahedral_group_subgroups.png/300px-Binary_octahedral_group_subgroups.png)
⟨ l , m , n ⟩ = binario grupo poliédrica
⟨ p ⟩≃Z 2 p , ( p ) ≃Z p ( grupos cíclicos )
El grupo tetraédrico binario , 2 T , que consta de las 24 unidades de Hurwitz , forma un subgrupo normal del índice 2. El grupo del cuaternión , Q 8, que consta de las 8 unidades de Lipschitz forma un subgrupo normal de 2 O del índice 6. El grupo del cociente es isomorfo a S 3 (el grupo simétrico de 3 letras). Estos dos grupos, junto con el centro {± 1}, son los subgrupos normales solamente no triviales de 2 O .
El grupo de cuaterniones generalizados , Q 16, también forma un subgrupo de 2 O , índice 3. Este subgrupo se auto-normaliza, por lo que su clase de conjugación tiene 3 miembros. También hay copias isomorfos de los grupos diedros binarios Q 8 y Q 12 en 2 O .
Todos los demás subgrupos son grupos cíclicos generados por los diversos elementos (con órdenes 3, 4, 6 y 8). [1]
Mayores dimensiones
El grupo octaédrico binario se generaliza a dimensiones superiores: así como el octaedro se generaliza al ortoplejo , el grupo octaédrico en SO (3) se generaliza al grupo hiperoctaédrico en SO ( n ), que tiene una cubierta binaria debajo del mapa.
Ver también
- Grupo poliédrico binario
- grupo cíclico binario , ⟨ n ⟩, índice 2 n
- grupo diedro binario , ⟨2,2, n ⟩, índice de 4 n
- grupo tetraédrico binario , 2T = ⟨2,3,3⟩, índice 24
- grupo icosaédrico binario , 2I = ⟨2,3,5⟩, índice 120
Referencias
- Coxeter, HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y Relaciones para Grupos Discretos, 4ª edición . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
- Conway, John H .; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones . Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.
Notas
- ^ Grupo octaédrico binario =en GroupNames