En matemáticas , una operación binaria o diádica es un cálculo que combina dos elementos (llamados operandos ) para producir otro elemento. Más formalmente, una operación binaria es una operación de aridad dos.
Más específicamente, una operación binaria en un conjunto es una operación cuyos dos dominios y el codominio son el mismo conjunto. Los ejemplos incluyen las operaciones aritméticas familiares de suma , resta y multiplicación . Otros ejemplos se encuentran fácilmente en diferentes áreas de las matemáticas, como la suma de vectores , la multiplicación de matrices y la conjugación en grupos .
Una operación de aridad dos que involucra varios conjuntos a veces también se denomina operación binaria . Por ejemplo, la multiplicación escalar de espacios vectoriales toma un escalar y un vector para producir un vector, y el producto escalar toma dos vectores para producir un escalar. Estas operaciones binarias pueden denominarse simplemente funciones binarias .
Las operaciones binarias son la piedra angular de la mayoría de las estructuras algebraicas , que se estudian en álgebra , en particular en semigrupos , monoides , grupos , anillos , campos y espacios vectoriales .
Terminología
Más precisamente, una operación binaria en un conjunto S es un mapeo de los elementos del producto cartesiano S × S a S : [1] [2] [3]
Debido a que el resultado de realizar la operación en un par de elementos de S es nuevamente un elemento de S , la operación se llama operación binaria cerrada (o interna ) en S (o algunas veces se expresa como si tuviera la propiedad de cierre ). [4]
Si f no es una función , sino una función parcial , entonces f se llama operación binaria parcial . Por ejemplo, la división de números reales es una operación binaria parcial, porque no se puede dividir por cero : a / 0 no está definido para cada número real a . En tanto álgebra universal y la teoría de modelos , se requieren operaciones binarias que definirse en todos S × S .
A veces, especialmente en ciencias de la computación , el término operación binaria se usa para cualquier función binaria .
Propiedades y ejemplos
Los ejemplos típicos de operaciones binarias son la suma (+) y la multiplicación (×) de números y matrices , así como la composición de funciones en un solo conjunto. Por ejemplo,
- En el conjunto de números reales R , f ( a , b ) = a + b es una operación binaria ya que la suma de dos números reales es un número real.
- En el conjunto de números naturales N , f ( a , b ) = a + b es una operación binaria ya que la suma de dos números naturales es un número natural. Esta es una operación binaria diferente a la anterior ya que los conjuntos son diferentes.
- En el conjunto M (2, R ) de matrices de 2 × 2 con entradas reales, f ( A , B ) = A + B es una operación binaria ya que la suma de dos de tales matrices es una matriz de 2 × 2 .
- En el conjunto M (2, R ) de matrices de 2 × 2 con entradas reales, f ( A , B ) = AB es una operación binaria ya que el producto de dos de tales matrices es una matriz de 2 × 2 .
- Para un conjunto dado C , deja S el conjunto de todas las funciones h : C → C . Defina f : S × S → S por f ( h 1 , h 2 ) ( c ) = ( h 1 ∘ h 2 ) ( c ) = h 1 ( h 2 ( c )) para todo c ∈ C , la composición de las dos funciones h 1 y h 2 en S . Entonces f es una operación binaria ya que la composición de las dos funciones es nuevamente una función en el conjunto C (es decir, un miembro de S ).
Muchas operaciones binarias de interés tanto en el álgebra y la lógica formal son conmutativas , satisfaciendo f ( un , b ) = f ( b , un ) para todos los elementos de una y b en S , o asociativa , satisfaciendo f ( f ( a , b ), c ) = f ( un , f ( b , c )) para todo un , b y c en S . Muchos también tienen elementos de identidad y elementos inversos .
Los primeros tres ejemplos anteriores son conmutativos y todos los ejemplos anteriores son asociativos.
En el conjunto de números reales R , la resta , es decir, f ( a , b ) = a - b , es una operación binaria que no es conmutativa ya que, en general, a - b ≠ b - a . Tampoco es asociativo, ya que, en general, a - ( b - c ) ≠ ( a - b ) - c ; por ejemplo, 1 - (2-3) = 2 pero (1-2) - 3 = −4 .
En el conjunto de números naturales N , la exponenciación de la operación binaria , f ( a , b ) = a b , no es conmutativa ya que, a b ≠ b a (cf. Ecuación xʸ = yˣ ), y tampoco es asociativa ya que f ( f ( a , b ), c ) ≠ f ( a , f ( b , c )) . Por ejemplo, con a = 2 , b = 3 y c = 2 , f (2 3 , 2) = f (8,2) = 8 2 = 64 , pero f (2,3 2 ) = f (2,9 ) = 2 9 = 512 . Al cambiar el conjunto N al conjunto de números enteros Z , esta operación binaria se convierte en una operación binaria parcial, ya que ahora no está definida cuando a = 0 y b es cualquier número entero negativo. Para cualquier conjunto, esta operación tiene una identidad correcta (que es 1) ya que f ( a , 1) = a para todo a en el conjunto, que no es una identidad ( identidad de dos lados) ya que f (1, b ) ≠ b en general.
La división (/), una operación binaria parcial sobre el conjunto de números reales o racionales, no es conmutativa ni asociativa. La tetración (↑↑), como operación binaria sobre los números naturales, no es conmutativa ni asociativa y no tiene elemento de identidad.
Notación
Las operaciones binarias a menudo se escriben usando notación infija como a ∗ b , a + b , a · b o (por yuxtaposición sin símbolo) ab en lugar de una notación funcional de la forma f ( a , b ) . Las potencias también suelen escribirse sin operador, pero con el segundo argumento como superíndice .
Las operaciones binarias a veces se escriben usando notación de prefijo o (más frecuentemente) de sufijo, los cuales prescinden de paréntesis. También se les llama, respectivamente, notación polaca y notación polaca inversa .
Emparejar y tuplar
Una operación binaria, ab , depende del par ordenado ( a, b ) y entonces ( ab ) c (donde los paréntesis aquí significan operar primero en el par ordenado ( a , b ) y luego operar en el resultado de eso usando el ordenado par (( ab ), c )) depende en general del par ordenado (( a , b ), c ). Por tanto, para el caso general no asociativo, las operaciones binarias se pueden representar con árboles binarios .
Sin embargo:
- Si la operación es asociativa, ( ab ) c = a ( bc ), entonces el valor de ( ab ) c depende solo de la tupla ( a , b , c ).
- Si la operación es conmutativa, ab = ba , entonces el valor de ( ab ) c depende solo de {{ a , b }, c }, donde las llaves indican multijuegos .
- Si la operación es tanto asociativa como conmutativa, entonces el valor de ( ab ) c depende solo del multiset { a , b , c }.
- Si la operación es asociativa, conmutativa e idempotente , aa = a , entonces el valor de ( ab ) c depende solo del conjunto { a , b , c }.
Operaciones binarias como relaciones ternarias
Una operación binaria f en un conjunto S puede verse como una relación ternaria en S , es decir, el conjunto de triples ( a , b , f ( a, b )) en S × S × S para todo a y b en S .
Operaciones binarias externas
Un externa operación binaria es una función binaria de K × S a S . Esto difiere de una operación binaria en un conjunto en el sentido de que K no necesita ser S ; sus elementos provienen del exterior .
Un ejemplo de una operación binaria externa es la multiplicación escalar en álgebra lineal . Aquí K es un campo y S es un espacio vectorial sobre ese campo.
Un externa operación binaria puede alternativamente ser vista como una acción ; K está actuando en S .
El producto escalar de dos vectores mapas de S × S a K , donde K es un campo y S es un espacio vectorial sobre K . Depende de los autores si se considera una operación binaria.
Ver también
- Tabla de verdad # Operaciones binarias
- Operación binaria iterada
- Operador (programación)
- Operación ternaria
- Operación unaria
Notas
- ^ Rotman 1973 , pág. 1
- ^ Hardy y Walker 2002 , pág. 176, definición 67
- ^ Fraleigh 1976 , pág. 10
- ^ Hall Jr. 1959 , pág. 1
Referencias
- Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
- Hall Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups , Nueva York: Macmillan
- Hardy, Darel W .; Walker, Carol L. (2002), Álgebra aplicada: códigos, cifrados y algoritmos discretos , Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
- Rotman, Joseph J. (1973), La teoría de los grupos: una introducción (2a ed.), Boston: Allyn y Bacon
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Operación binaria" . MathWorld .